Stochastik für das Lehramt, Sommersemester 2017 Dr. A. Szkoła Dr. M. Tautenhahn Hausaufgabe 4

Stochastik für das Lehramt, Sommersemester 2017 Dr. A. Szkoła Dr. M. Tautenhahn Hausaufgabe 4

Abgabe am 12. Juni 2017

Aufgabe 1. Ein Student habe auf seinen Weg zur Universität fünf voneinander unabhän- gig geregelte Ampelkreuzungen zu passieren. Es bezeichne X die Anzahl der überquerten Kreuzungen bis zum erstmaligen Halt wegen Rot oder dem Erreichen der Universität.

(a) Bestimmen Sie den Wertebereich, die Wahrscheinlichkeitsfunktion, den Erwartungswert, die Varianz und die Standardabweichung von X, falls alle Ampeln gleich lange Rot-Grün- Phasen besitzen und unabhängig voneinander schalten.

(b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird die Universität erreicht, ohne vor einer Ampel hal- ten zu müssen?

Aufgabe 2. Ein Testat im Fach Stochastik sei wie folgt beschaffen: Der zu prüfende Stu- dent wählt aus 50 vorliegenden Prüfungsfragen blind 10 Fragen aus. Das Testat gelte als bestanden, wenn er von diesen 10 Fragen mindestens 4 Fragen richtig beantworten kann.

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Testat

(a) bestanden wird, obwohl der Student nur 20% aller Prüfungsfragen beantworten kann, (b) nicht bestanden wird, obwohl der Student 60% aller Prüfungsfragen beantworten kann.

Aufgabe 3. Es sei X eine diskrete Zufallsgröße mit Wahrscheinlichkeitsfunktion

p(x) =







(x + 1)c falls x ∈ {0, 1, 2},

0 sonst.

(a) Bestimmen Sie den Wert der Konstanten c.

(b) Ermitteln Sie die folgenden Wahrscheinlichkeiten: P (X < 2), P (X ≤ 2), P (0 < X < 2) und P (X = 1 : X < 2).

(c) Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz von X.

(d) Bestimmen Sie den kleinsten Wert x ∈ R , für den P (X ≤ x) > 0.5 gilt.

Aufgabe 4. Ein Student habe auf seinen Weg zur Universität fünf voneinander unabhän- gig geregelte Ampelkreuzungen zu passieren. Es bezeichne X die Anzahl der überquerten Kreuzungen bis zum erstmaligen Halt wegen Rot oder dem Erreichen der Universität.

(a) Bestimmen Sie den Wertebereich, die Wahrscheinlichkeitsfunktion, den Erwartungswert, die Varianz und die Standardabweichung von X, falls alle Ampeln gleich lange Rot-Grün- Phasen besitzen und unabhängig voneinander schalten.

(b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird die Universität erreicht, ohne vor einer Ampel hal- ten zu müssen?

Aufgabe 5. Man stelle sich den Eingang eines Kaufhauses vor, an dem ein Drehkreuz

angebracht ist. Langfristige Erhebungen haben gezeigt, daß durchschnittlich zwei Kunden

pro Minute eintreten und die Anzahl der Kunden pro Minute Poissonverteilt ist. Wie hoch

ist die Wahrscheinlichkeit, daß in einer Minute maximal 5 Kunden eintreffen?