Stochastik für das Lehramt, Sommersemester 2017 Dr. A. Szkoła Dr. M. Tautenhahn Hausaufgabe 6
Abgabe am 26. Juni 2017
Aufgabe 1. Die Wahrscheinlichkeit, mit zwei Würfeln einen Pasch (11, 22, . . . , 66) zu erhalten, beträgt bekanntlich 1/6.
(a) Es wird 4-mal hintereinander jeweils mit 2 Würfeln gewürfelt. Wie groß ist die Wahr- scheinlichkeit, dass insgesamt genau 3-mal Pasch fällt, wenn bekannt ist, dass mindestens einmal Pasch dabei war?
(b) Berechnen Sie, wie oft man würfeln müsste, damit die Wahrscheinlichkeit für "mindestens einmal Pasch“ mindestens 99 % beträgt.
Aufgabe 2. Ein Betrieb stellt zwei gleichartige Computertypen her, die sich im Hinblick auf ihre Zuverlässigkeit unterscheiden. Ein Computer vom Typ I übersteht mit der Wahr- scheinlichkeit 0.95 die Garantiezeit ohne Reparatur, ein Computer des Typs II nur mit Wahr- scheinlichkeit 0.8. Auf den Typ I entfallen 30% der Gesamtproduktion.
(a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein beliebig ausgewählter Computer die Garantiezeit ohne Reparatur übersteht?
(b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist ein während der Garantiezeit reklamierter Computer vom Typ I?
Aufgabe 3. Die Wahrscheinlichkeit, mit einem medizinischen Test bei Vorliegen einer be- stimmten Erkrankung einen Hinweis auf diese Krankheit zu erhalten (Sensitivität des Tests), betrage 0.95. Die Wahrscheinlichkeit, bei diesem Test eine gesunde Person als nicht infiziert einzustufen (Spezifität des Tests), betrage 0.98. Aus einer Bevölkerungsgruppe mit einem bekannten Anteil von 0.1% infizierter Personen (Prävalenz) werde eine zufällig ausgewählte Person getestet.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei einem positiven Testergebnis die un- tersuchte Person tatsächlich infiziert ist (positiver prädikativer Wert)!
Aufgabe 4. Bei der Stochastikklausur 2010 haben 54.5% aller Teilnehmer bestanden. Von denen, die bestanden haben, haben 46.6% die Note ausreichend, 45.9% befriedigend und 7.5% gut erreicht. Die Anteile der Maschinenbaustudenten an den Noten waren
Note 2 3 4 5
Anteil Maschinenbau 70% 47.5% 51.6% 57.7%
(a) Wie groß war der Anteil der Maschinenbaustudenten an den Teilnehmern der Klausur?
(b) Wie groß war der Anteil der Maschinenbauer, die bestanden haben?
(c) Wie groß war der Anteil der Maschinenbauer, die Noten 2, 3, 4 erreicht haben?
Zusatzaufgabe 5. Ein Motor springe bei jedem Startversuch mit Wahrscheinlichkeit p an.
Die einzelnen Startversuche seien unabhängig voneinander. Berechnen Sie die Wahrschein- lichkeit dafür, dass
(a) der Motor erst beim zweiten Starten anspringt,
(b) der Motor beim zweiten Starten anspringt, wenn er beim ersten Startversuch nicht an- gesprungen ist,
(c) der Motor nicht mehr als zweimal gestartet werden muss, bis er anspringt.
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