Technische Universit¨ at Chemnitz Stochastik Fakult¨ at f¨ ur Mathematik
Prof. Dr. I. Veseli´ c, F. Schwarzenberger, M. Tautenhahn
Ubungsblatt 1 ¨
Aufgabe 1. Sei A eine σ-Algebra. Zeigen Sie, dass f¨ ur Ereignisse A
1, A
2, · · · ∈ A gilt:
(a) ∩
∞j=1A
j∈ A
(b) A
1\ A
2∈ A
Aufgabe 2. Sei Ω = {0, 1}
N(Menge aller Folgen der Zahlen 0 und 1) und A eine σ-Algebra ¨ uber Ω, die die Mengen A
j= {ω = (ω
1, ω
2, . . . ) ∈ Ω | ω
j= 1}, j ∈ N , enth¨ alt.
Beweisen Sie
n
ω = (ω
1, ω
2, . . . ) ∈ Ω |
∞
X
j=1
ω
j< ∞ o
∈ A.
Aufgabe 3. (A
i)
i∈Isei eine Familie von σ-Algebren ¨ uber Ω. Zeigen Sie, dass A = \
i∈I
A
i= {A ⊂ Ω | ∀i ∈ I : A ∈ A
i}
ebenfalls eine σ-Algebra ist.
Aufgabe 4. Sei Ω eine Menge, F eine σ-Algebra ¨ uber Ω und C ∈ F. Zeige, dass F
C= {C ∩ A : A ∈ F } eine σ-Algebra ¨ uber C ist.
Aufgabe 5. Sei Ω = R , A = {A ⊂ Ω | A offen oder abgeschlossen}. Ist A eine σ- Algebra?
Aufgabe 6. Sei (Ω, A, P ) ein beliebiger Wahrscheinlichkeitsraum und seien A, B und C paarweise disjunkte Ereignisse mit P (A) = 0.4, P (B) = 0.25 und P (C) = 0.35. Bestimmen Sie die durch {A, B, C} erzeugte σ-Algebra, d. h. die kleinste σ-Algebra, die A, B und C enth¨ alt. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten aller Ereignisse dieser σ-Algebra.
Aufgabe 7. Sei Ω = {ω = (ω
1, ω
2, . . . ) | ω
i∈ {−1, +1}}. Wir definieren Abbildungen S
n: Ω → R , n ∈ N , durch S
n(ω) = (1/n) P
ni=1
ω
i. Was bedeuten die den folgenden Mengen zugeordneten Ereignisse anschaulich?
(a) S
n−1[−1/2, 1/2]
(b) \
n∈N n≥2
S
n−1[−1/2, 1/2]
(c) \
ε∈Q ε>0
[
n
\
m≥n
