Stochastik Prof. Dr. I. Veseli´ c
Ubungsblatt 1 ¨
Aufgabe 1. Sei A eine σ-Algebra. Zeigen Sie, dass f¨ ur Ereignisse A
1, A
2, · · · ∈ A gilt:
(a) ∩
∞j=1A
j∈ A (b) A
1\ A
2∈ A
Aufgabe 2. Sei Ω = {0, 1}
N(Menge aller Folgen der Zahlen 0 und 1) und A eine σ-Algebra
¨ uber Ω, die die Mengen A
j= {ω = (ω
1, ω
2, . . . ) ∈ Ω | ω
j= 1}, j ∈ N , enth¨ alt. Beweisen Sie n
ω = (ω
1, ω
2, . . . ) ∈ Ω |
∞
X
j=1
ω
j< ∞ o
∈ A.
Aufgabe 3. (A
i)
i∈Isei eine Familie von σ-Algebren ¨ uber Ω. Zeigen Sie, dass A = \
i∈I
A
i= {A ⊂ Ω | ∀i ∈ I : A ∈ A
i}
ebenfalls eine σ-Algebra ist.
Aufgabe 4 (Formel von Poincar´ e-Sylvester). Zeigen Sie: f¨ ur Ereignisse A
1, A
2, . . . , A
nin einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P ) gilt
P
n
[
i=1
A
i!
=
n
X
k=1
(−1)
k+1X
1≤i1<···<ik≤n
P (A
i1∩ A
i2∩ · · · ∩ A
ik)
! .
Aufgabe 5. Sei Ω eine Menge, F eine σ-Algebra ¨ uber Ω und C ∈ F . Zeige, dass F
C= {C ∩ A : A ∈ F } eine σ-Algebra ¨ uber C ist.
Aufgabe 6. Sei Ω eine ¨ uberabz¨ ahlbare Menge und F = {A ⊂ Ω | A h¨ ochstens abz¨ ahlbar oder A
ch¨ ochstens abz¨ ahlbar}. F¨ ur A ∈ F sei
P (A) =
( 0 A h¨ ochstens abz¨ ahlbar, 1 A
ch¨ ochstens abz¨ ahlbar.
Zeige, dass F eine σ-Algebra ¨ uber Ω und P ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf F ist.
Aufgabe 7. Sei Ω = R , A = {A ⊂ Ω | A offen oder abgeschlossen}. Ist A eine σ-Algebra?
Aufgabe 8. Sei (Ω, A, P) ein beliebiger Wahrscheinlichkeitsraum und seien A, B und C paar- weise disjunkte Ereignisse mit P (A) = 0.4, P (B) = 0.25 und P (C) = 0.35. Bestimme die durch {A, B, C} erzeugte σ-Algebra, d. h. die kleinste σ-Algebra, die A, B und C enth¨ alt. Berechne die Wahrscheinlichkeiten aller Ereignisse dieser σ-Algebra.
Bitte wenden!
Aufgabe 9. Sei Ω = {ω = (ω
1, ω
2, . . . ) | ω
i∈ {−1, +1}}. Wir definieren Abbildungen S
n: Ω → R, n ∈ N, durch S
n(ω) = (1/n) P
ni=1
ω
i. Was bedeuten die den folgenden Mengen zugeordneten Ereignisse anschaulich?
(a) S
n−1[−1/2, 1/2]
(b) \
n∈N n≥2
S
n−1[−1/2, 1/2]
(c) \
ε∈Q ε>0
[
n
\
m≥n
