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Sei X eine Menge. Zeigen Sie, dass A ⊂ P(X ) genau dann eine Algebra ist, wenn (a) ∅ ∈ A.

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Academic year: 2021

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(1)

Prof. Dr. Lars Diening Roland Tomasi

Giovanni Placini 13.10.2014

Maß- und Integralrechnung Tutoriumsblatt 1

Aufgabe 1:

Sei X eine Menge. Zeigen Sie, dass A ⊂ P(X ) genau dann eine Algebra ist, wenn (a) ∅ ∈ A.

(b) Aus A ∈ A folgt A

{

∈ A.

(c) Aus A, B ∈ A folgt A ∪ B ∈ A.

Aufgabe 2:

Seien (A

n

)

n∈N

eine Folge von Mengen und A eine Menge. Zeigen Sie, dass A

n

→ A genau dann, wenn χ

An

(x) → χ

A

(x).

Aufgabe 3:

Zeigen Sie, dass sich jede offene Menge U ⊂ R

n

als abzählbare Vereinigung offener Intervalle mit rationalen Eckpunkten darstellen lässt, d.h.

U =

∞

[

i=1

]a

i

, b

i

[ , a

i

, b

i

∈ Q

n

.

Bemerkung: Hieraus folgt insbesondere σ({U : U ⊂ R

n

offen}) = σ({]a, b[: a, b ∈ Q

n

}).

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