Zeigen Sie, daß es ein Polynom p∈K[x] gibt mit A−1 =p(A)

SS 2004

Prof.Dr. G. Nebe

Andreas Martin Blatt 10

Ubungen zur Linearen Algebra¨

Abgabe : Dienstag, 29.6.2004, 14.15 Uhr vor der Vorlesung

1. Es sei K ein K¨orper und A ∈ GLn(K). Zeigen Sie, daß es ein Polynom

p∈K[x] gibt mit A⁻¹ =p(A). (2 P.)

2. Es seien T₁, . . . , Tn Unterr¨aume eines K-Vektorraums V mit dimV < ∞.

Ferner sei B⁽ⁱ⁾ eine Basis von Ti f¨ur i = 1, . . . , n. Zeigen Sie, daß folgende Aussagen ¨aquivalent sind.

(i) V =T₁⊕. . .⊕Tn.

(ii) V =T₁+. . .+Tn und f¨ur i= 1, . . . , ngilt (T₁+. . .+Ti−1)∩Ti ={0}.

(iii) V =T₁+. . .+Tn und dimV = dimT₁+. . .+ dimTn. (iv) (B⁽¹⁾, . . . , B⁽ⁿ⁾) ist eine Basis von V.

(4 P.) 3. Die reelle Folge (aⁿ)ⁿ∈N₀ sei rekursiv definiert durcha₀ := 0,a₁ := 1,a₂ := 2

und

an+3 :=−3an+an+1+ 3an+2, ∀n∈N₀ .

(i) Bestimmen Sie eine Matrix A∈R^3×3 so, daß f¨ur allen ∈N₀ gilt



 an

an+1

an+2



=Aⁿ



 a₀ a₁ a₂



 .

(ii) Bestimmen Sie eine Matrix S ∈ GL₃(R) so, daß S⁻¹AS Diagonalge- stalt hat.

(iii) Bestimmen Sie explizite Formeln f¨ur Aⁿ und an. Berechnen Sie a₁₀₀. (2+3+2 P.) 4. Bestimmen Sie die Eigenwerte samt algebraischer und geometrischer Viel-

fachheiten der MatrixA. Ist A diagonalisierbar?

A:=









2 3 4 3 1 3 1 3 1 1 4 3 0 2 0 4









∈F^4×4

5 .

(3 P.) 5. Es sei

A:=













1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0













∈F^5×5

2 .

Bestimmen Sie eine Matrix S ∈ GL5(F₂) so, daß S⁻¹AS eine Blockdiago- nalmatrix ist mit Bl¨ocken der Gr¨oße 2, 2 und 1.

(8 P.)

Tutoriumsaufgaben:

Untersuchen Sie jeweils die Matrix A auf Diagonalisierbarkeit. Bestimmen Sie gegebenenfalls eine invertierbare MatrixS so, daß S⁻¹AS Diagonalgestalt hat.

1. A:=

0 1

−1 0

∈R^2×2.

2. A:=

0 1

−1 0

∈C^2×2.

3. A:=





−7 3 3

−9 5 3

−9 3 5



∈R^3×3.