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Sei X ein K -Vektorraum mit einem Skalarprodukt h·, ··i. Zeigen Sie, dass durch kxk := p

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Academic year: 2021

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Prof. Dr. Lars Diening Roland Tomasi

Giovanni Placini 15.12.2014

Maß- und Integralrechnung Tutoriumsblatt 10

Aufgabe 1:

Sei X ein K -Vektorraum mit einem Skalarprodukt h·, ··i. Zeigen Sie, dass durch kxk := p

hx, xi eine Norm auf X definiert wird.

Aufgabe 2:

Zeigen Sie, dass ein normierter Raum (X, k.k) genau dann ein Prähilbertraum ist, wenn gilt:

∀x, y ∈ X : kx + yk

2

+ kx − yk

2

= 2kxk

2

+ kyk

2

Der Einfachheit halber dürfen Sie sich auf den Fall eines reellen Vektorraumes be- schränken.

Aufgabe 3:

Zeigen Sie, dass L

2

( R

d

, k·k

2

) ein Hilbertraum ist.

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