8. Es sei X ein topologischer Raum und es sei u : X → [−∞, ∞[ eine nach oben beschr¨ ankte Funktion. Zeigen Sie, dass durch

Mathematisches Institut Prof. Dr. R. Braun

D¨ usseldorf, den 30.04.2019 Blatt 4

Ubungen zur Komplexen Analysis ¨

8. Es sei X ein topologischer Raum und es sei u : X → [−∞, ∞[ eine nach oben beschr¨ ankte Funktion. Zeigen Sie, dass durch

u

(x) := lim sup

y→x

u(y)

eine oberhalbstetige Funktion auf X gegeben wird.

9. Beispielsweise aus der Einf¨ uhrung in die partiellen Differentialgleichung wissen wir, dass f¨ ur eine stetige Funktion f ∈ C(∂B

(0)) die L¨ osung des zweidimensionalen Dirichlet-Problems

∆u = 0, in B

(0),

u = f, in ∂B

(0), gegeben wird durch

u(x) = 1 2πρ

Z

∂Bρ(0)

ρ

− |x|

|x − y|

f(y) dσ(y).

Es seien nun Ω ⊂ C offen, u : Ω → [−∞, ∞[ subharmonisch und B

(z) ⊂ Ω. Zeigen Sie

u(z) ≤ 1 2π

Z

0

u(z + re

) dϕ.

10. Es seien Ω ⊂ C offen, u : Ω → [−∞, ∞[ subharmonisch und z

∈ Ω. Ferner sei (r

)

eine positive Nullfolge, so dass B

(z) ⊂ Ω f¨ ur jedes n. Zeigen Sie

n→∞

lim 1 2π

Z

0

u(z + r

e

) dϕ = u(z).

Besprechung: 6. Mai