Sei X geometrisch verteilt mit Erfolgswahrscheinlichkeit p. Dann ist Pr[X = k] die Wahrscheinlichkeit, dass wir bei einem bin¨ aren Experiment mit

(1)

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

p=0;8

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

p=0;6

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

p=0;4

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

p=0;2

Dichte der geometrischen Verteilung

DWT 5.3 Geometrische Verteilung 131/476

c

Ernst W. Mayr

(2)

Sei X geometrisch verteilt mit Erfolgswahrscheinlichkeit p. Dann ist Pr[X = k] die Wahrscheinlichkeit, dass wir bei einem bin¨ aren Experiment mit

Erfolgswahrscheinlichkeit p genau in der k-ten unabh¨ angigen Wiederholung das erste Mal erfolgreich sind.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit Pr[X > y + x | X > x]?

Da bei den ersten x Versuchen kein Erfolg eintrat, stellen wir uns vor, dass das

” eigentliche“ Experiment erst ab dem (x + 1)-ten Versuch beginnt. Die Zeit bis zum ersten Erfolg bei diesem neuen Experiment nennen wir X ⁰ . Damit X > y + x gilt, muss X ⁰ > y gelten. Es ist intuitiv, dass X ⁰ wieder geometrisch verteilt ist mit Erfolgswahrscheinlichkeit p, dass also f¨ ur x, y ∈ N gilt:

Pr[X > y + x | X > x] = Pr[X ⁰ > y]. (6)

c

Ernst W. Mayr

(3)

Formal gilt

Pr[X > x] =

∞

X

i=x+1

(1 − p) ⁱ⁻¹ p = (1 − p) ^x p ·

∞

X

i=0

(1 − p) ⁱ

= (1 − p) ^x p · 1

1 − (1 − p) = (1 − p) ^x , sowie

Pr[X > y + x | X > x] = Pr[X > y + x, X > x]

Pr[X > x]

= Pr[X > y + x]

Pr[X > x]

= (1 − p) ^y+x · (1 − p) ^−x = (1 − p) ^y

= Pr[X > y] .

c

Ernst W. Mayr

(4)

Diese Eigenschaft nennt man Ged¨ achtnislosigkeit, da eine geometrisch verteilte

Zufallsvariable gewissermaßen vergisst, dass sie schon x Misserfolge hinter sich hat und sich deshalb zum Zeitpunkt y + x genauso verh¨ alt wie urspr¨ unglich zur Zeit y.

c

Ernst W. Mayr

(5)

Warten auf den n-ten Erfolg.

Wir betrachten n unabh¨ angige Zufallsvariablen X 1 , . . . , X n , die jeweils geometrisch verteilt sind mit Parameter p, und bestimmen die Dichte der Zufallsvariablen

Z := X 1 + · · · + X n . Damit bezeichnet Z also die Anzahl der Versuche bis zum n-ten erfolgreichen Experiment (einschließlich).

Falls Z = z ist, so werden also genau n erfolgreiche und z − n nicht erfolgreiche Experimente durchgef¨ uhrt. Daf¨ ur gibt es genau _n−1 ^z−1

M¨ oglichkeiten, von denen jede mit Wahrscheinlichkeit p ⁿ (1 − p) ^z−n eintritt. Es gilt also

f Z (z) =

z − 1 n − 1

· p ⁿ (1 − p) ^z−n .

Die Zufallsvariable Z nennt man negativ binomialverteilt mit Ordnung n.

c

Ernst W. Mayr

(6)

Das Coupon-Collector-Problem

In manchen Branchen legen Firmen den Verpackungen ihrer Produkte oft kleine Bilder oder andere Gegenst¨ ande bei, um den K¨ aufer zum Sammeln anzuregen. Wenn es insgesamt n verschiedene solche Beilagen gibt, wie viele Packungen muss man im Mittel erwerben, bis man eine vollst¨ andige Sammlung besitzt? Hierbei nehmen wir an, dass bei jedem Kauf jede Beilage mit gleicher Wahrscheinlichkeit auftritt.

Sei

X die Anzahl der zu t¨ atigenden K¨ aufe, und

bezeichne Phase i die Schritte vom Erwerb der (i − 1)-ten Beilage (ausschließlich) bis zum Erwerb der i-ten Beilage (einschließlich).

c

Ernst W. Mayr

(7)

Sei etwa n = 4, und seien die Beilagen mit den Zahlen 1, 2, 3, 4 identifiziert. Ein Experiment ist z.B.:

2 |{z}

1

, 2, 1

|{z}

2

, 2, 2, 3

| {z }

3

, 1, 3, 2, 3, 1, 4

| {z }

4

.

Beobachtung:

Phase i endet genau dann, wenn wir eine der n − i + 1 Beilagen erhalten, die wir noch nicht besitzen.

Somit ist X i geometrisch verteilt mit Parameter p = ⁿ⁻ⁱ⁺¹ _n und es gilt E [X i ] = _n−i+1 ⁿ .

c

Ernst W. Mayr

(8)

Damit folgt aber sofort

E [X] =

n

X

i=1

E [X _i ]

=

n

X

i=1

n n − i + 1

= n ·

n

X

i=1

1 i = n · H _n , wobei H n := P n

i=1 1

i die n-te harmonische Zahl bezeichnet. Da H n = ln n + O(1), folgt E [X] = n ln n + O(n).

c

Ernst W. Mayr

(9)

5.4 Poisson-Verteilung

Die Poisson-Verteilung mit dem Parameter λ ≥ 0 hat den Wertebereich W X = N 0 und besitzt die Dichte

f X (i) = e ^−λ λ ⁱ

i! f¨ ur i ∈ N 0 . f X ist eine zul¨ assige Dichte, da

∞

X

i=0

f _X (i) =

∞

X

i=0

e ^−λ λ ⁱ i!

= e ^−λ · e ^λ = 1 .

DWT 5.4 Poisson-Verteilung 139/476

c

Ernst W. Mayr

(10)

F¨ ur den Erwartungswert erhalten wir

E[X] =

∞

X

i=0

i · e ^−λ λ ⁱ i!

= λe ^−λ

∞

X

i=1

λ ⁱ⁻¹ (i − 1)!

= λe ^−λ

∞

X

i=0

λ ⁱ i!

= λe ^−λ e ^λ = λ .

c

Ernst W. Mayr

(11)

Da

E[X(X − 1)] =

∞

X

i=0

i(i − 1) · e ^−λ λ ⁱ i!

= λ ² e ^−λ

∞

X

i=2

λ ⁱ⁻² (i − 2)!

= λ ² e ^−λ

∞

X

i=0

λ ⁱ i!

= λ ² e ^−λ e ^λ = λ ² und

E[X(X − 1)] + E[X] − E[X] ²

= E [X ² ] − E [X] + E [X] − E [X] ² = Var[X] ,

c

Ernst W. Mayr

(12)

folgt

Var[X] = E [X(X − 1)] + E [X] − E [X] ² = λ ² + λ − λ ² = λ. (7) Daf¨ ur, dass eine Zufallsvariable X Poisson-verteilt mit Parameter λ ist, schreiben wir auch

X ∼ Po(λ).

c

Ernst W. Mayr

(13)

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Po^(0;5)

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Po⁽¹⁾

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6

0 2 4 6 8 10

Po(2)

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Po(5)

Dichte der Poisson-Verteilung

c

Ernst W. Mayr

(14)

5.4.1 Poisson-Verteilung als Grenzwert der Binomialverteilung Wir betrachten eine Folge von binomialverteilten Zufallsvariablen X n mit X _n ∼ Bin(n, p _n ), wobei p _n = λ/n. F¨ ur ein beliebiges k mit 0 ≤ k ≤ n ist die Wahrscheinlichkeit, dass X _n den Wert k annimmt, gleich

b(k; n, p _n ) = n

k

· p ^k _n · (1 − p _n ) ^n−k

= (n · p _n ) ^k k! · n ^k

n ^k · (1 − p _n ) ^−k · (1 − p _n ) ⁿ

= λ ^k k! · n ^k

n ^k ·

1 − λ n

−k

· 1 − λ n

n

.

c

Ernst W. Mayr

(15)

Wir betrachten nun n → ∞ und erinnern uns, dass

n→∞ lim n ^k n ^k = 1,

n→∞ lim (1 − λ

n ) ^−k = 1, und

n→∞ lim (1 − λ

n ) ⁿ = e ^−λ . Damit folgt

n→∞ lim b(k; n, p n ) = lim

n→∞

n k

· p ^k _n · (1 − p n ) ^n−k = e ^−λ · λ ^k k! .

c

Ernst W. Mayr

(16)

Die Wahrscheinlichkeit b(k; n, p _n ) konvergiert also f¨ ur n → ∞ gegen die

Wahrscheinlichkeit, dass eine Poisson-verteilte Zufallsvariable mit Parameter λ den Wert k annimmt. Insgesamt folgt somit, dass die Verteilung einer Zufallsvariablen X ∼ Bin(n, λ/n) sich f¨ ur n → ∞ der Poisson-Verteilung Po(λ) ann¨ ahert.

c

Ernst W. Mayr

(17)

Vergleich von Binomial- und Poisson-Verteilung

c

Ernst W. Mayr

(18)

Ist also n im Vergleich zu λ hinreichend groß, so kann man die Poisson-Verteilung als Approximation der Binomialverteilung verwenden.

Diese Tatsache wird manchmal auch als Gesetz seltener Ereignisse bezeichnet, da die Wahrscheinlichkeit eines einzelnen Treffers p _n = λ/n relativ klein sein muss, wenn die Approximation gute Ergebnisse liefern soll.

c

Ernst W. Mayr

(19)

Die folgenden Voraussetzungen m¨ ussen erf¨ ullt sein, damit die Annahme der Poisson-Verteilung gerechtfertigt ist:

Die Ereignisse treten nie zur gleichen Zeit auf.

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis in einem (kleinen) Zeitintervall δt auftritt, ist proportional zur L¨ ange von δt.

Die Anzahl der Ereignisse in einem festen Zeitintervall h¨ angt nur von dessen L¨ ange ab, nicht aber von der Lage auf der Zeitachse.

Wenn man zwei disjunkte Zeitintervalle betrachtet, so sind die Anzahlen der Ereignisse in diesen Zeitr¨ aumen voneinander unabh¨ angig.

c

Ernst W. Mayr

(20)

Beispiel 58

Wir wollen wissen, wie oft eine bestimmte Gegend im Durchschnitt von einer Naturkatastrophe (z.B. Vulkanausbruch) getroffen wird. Aus Statistiken entnehmen wir, dass so ein Ereignis im Mittel 10 ⁻⁴ -mal pro Jahr auftritt. Wir interessieren uns nun f¨ ur die Wahrscheinlichkeit, dass die Region in einem Jahr mehr als einmal von einem solchen Ungl¨ uck heimgesucht wird.

Die Voraussetzungen scheinen erf¨ ullt zu sein, die Anzahl X der Katastrophen durch eine Poisson-Verteilung mit Parameter λ = 10 ⁻⁴ zu modellieren.

Damit gilt

Pr[X ≥ 2] = 1 − Pr[X = 0] − Pr[X = 1] = 1 − e ^−λ − λe ^−λ

≈ 1 − 0,999900005 − 0,000099990 = 5 · 10 ⁻⁹ .

c

Ernst W. Mayr

(21)

Summe von Poisson-verteilten Zufallsvariablen

Satz 59

Sind X und Y unabh¨ angige Zufallsvariablen mit X ∼ Po(λ) und Y ∼ Po(µ), dann gilt Z := X + Y ∼ Po(λ + µ) .

c

Ernst W. Mayr

(22)

Beweis:

f

Z

(z) =

∞

X

x=0

f

X

(x) · f

Y

(z − x) =

z

X

x=0

e

^−λ

λ

^x

x! · e

^−µ

µ

^z−x

(z − x)!

= e

^−(λ+µ)

· (λ + µ)

^z

z! ·

z

X

x=0

z!

x!(z − x)!

λ λ + µ

x

µ λ + µ

z−x

= e

^−(λ+µ)

· (λ + µ)

^z

1 z! ·

z

X

x=0

z x

p

^x

(1 − p)

^z−x

,

wobei p := _λ+µ ^λ .

Da die Summe gleich 1 ist, folgt

f _Z (z) = e ^−(λ+µ) · (λ + µ) ^z 1 z! .

c

Ernst W. Mayr

(23)

Erl¨ auterungen und Beispiele zur Poisson-Verteilung

In der Wikipedia finden sich ein paar weitere Details und Beispiele hier.

Eine Anwendung der Poisson-Verteilung auf die Fußball-Bundesliga (erschienen im Juni-Heft 2010 von Spektrum der Wissenschaft) ist hier.

c

Ernst W. Mayr

(24)

6. Absch¨ atzen von Wahrscheinlichkeiten

6.1 Die Ungleichungen von Markov und Chebyshev

Satz 60 (Markov-Ungleichung)

Sei X eine Zufallsvariable, die nur nicht-negative Werte annimmt. Dann gilt f¨ ur alle t ∈ R mit t > 0, dass

Pr[X ≥ t] ≤ E [X]

t . Aquivalent dazu: ¨

Pr[X ≥ t · E[X]] ≤ 1/t .

DWT 6.1 Die Ungleichungen von Markov und Chebyshev 154/476

c

Ernst W. Mayr

(25)

Beweis:

t · Pr[X ≥ t] = t · X

x∈W

_X

, x≥t

Pr[X = x]

≤ X

x∈W

_X

, x≥t

x · Pr[X = x]

≤ X

x∈W

_X

x · Pr[X = x]

= E[X] .

c

Ernst W. Mayr

(26)

Alternativer Beweis:

Es gilt

E[X] = E[X|X < t]P r[X < t] + E[X|X ≥ t]P r[X ≥ t] . Wegen E[X|X < t]P r[X < t] ≥ 0 und E[X|X ≥ t] ≥ t folgt sofort

E[X] ≥ t ∗ P r[X ≥ t] .

c

Ernst W. Mayr

(27)

Die Markov-Ungleichung ist nach Andrey Andreyevich Markov (1856–1922) benannt, der an der Universit¨ at von St. Petersburg bei Chebyshev studierte und sp¨ ater dort arbeitete. Neben seiner mathematischen T¨ atigkeit fiel Markov durch heftige Proteste gegen das Zaren-Regime auf, und nur sein Status als vermeintlich harmloser

Akademiker sch¨ utzte ihn vor Repressalien durch die Beh¨ orden. Im Jahr 1913

organisierte er parallel zum dreihundertj¨ ahrigen Geburtstag der Zarenfamilie Romanov eine Feier zum zweihundertj¨ ahrigen Geburtstag des Gesetzes der großen Zahlen (s.u.).

c

Ernst W. Mayr

Sei X geometrisch verteilt mit Erfolgswahrscheinlichkeit p. Dann ist Pr[X = k] die Wahrscheinlichkeit, dass wir bei einem bin¨ aren Experiment mit

Dichte der geometrischen Verteilung

Sei X geometrisch verteilt mit Erfolgswahrscheinlichkeit p. Dann ist Pr[X = k] die Wahrscheinlichkeit, dass wir bei einem bin¨ aren Experiment mit

Erfolgswahrscheinlichkeit p genau in der k-ten unabh¨ angigen Wiederholung das erste Mal erfolgreich sind.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit Pr[X > y + x | X > x]?

Da bei den ersten x Versuchen kein Erfolg eintrat, stellen wir uns vor, dass das

Pr[X > y + x | X > x] = Pr[X 0 > y]. (6)

Formal gilt

Pr[X > x] =

∞

X

i=x+1

(1 − p) i−1 p = (1 − p) x p ·

∞

X

i=0

(1 − p) i

= (1 − p) x p · 1

1 − (1 − p) = (1 − p) x , sowie

Pr[X > y + x | X > x] = Pr[X > y + x, X > x]

Pr[X > x]

= Pr[X > y + x]

Pr[X > x]

= (1 − p) y+x · (1 − p) −x = (1 − p) y

= Pr[X > y] .

Diese Eigenschaft nennt man Ged¨ achtnislosigkeit, da eine geometrisch verteilte

Zufallsvariable gewissermaßen vergisst, dass sie schon x Misserfolge hinter sich hat und sich deshalb zum Zeitpunkt y + x genauso verh¨ alt wie urspr¨ unglich zur Zeit y.

Warten auf den n-ten Erfolg.

Wir betrachten n unabh¨ angige Zufallsvariablen X 1 , . . . , X n , die jeweils geometrisch verteilt sind mit Parameter p, und bestimmen die Dichte der Zufallsvariablen

Z := X 1 + · · · + X n . Damit bezeichnet Z also die Anzahl der Versuche bis zum n-ten erfolgreichen Experiment (einschließlich).

Falls Z = z ist, so werden also genau n erfolgreiche und z − n nicht erfolgreiche Experimente durchgef¨ uhrt. Daf¨ ur gibt es genau n−1 z−1

M¨ oglichkeiten, von denen jede mit Wahrscheinlichkeit p n (1 − p) z−n eintritt. Es gilt also

f Z (z) =

z − 1 n − 1

· p n (1 − p) z−n .

Die Zufallsvariable Z nennt man negativ binomialverteilt mit Ordnung n.

Das Coupon-Collector-Problem

Sei

X die Anzahl der zu t¨ atigenden K¨ aufe, und

bezeichne Phase i die Schritte vom Erwerb der (i − 1)-ten Beilage (ausschließlich) bis zum Erwerb der i-ten Beilage (einschließlich).

Sei etwa n = 4, und seien die Beilagen mit den Zahlen 1, 2, 3, 4 identifiziert. Ein Experiment ist z.B.:

2

|{z}

1

, 2, 1

|{z}

2

, 2, 2, 3

| {z }

3

, 1, 3, 2, 3, 1, 4

| {z }

4

.

Beobachtung:

Phase i endet genau dann, wenn wir eine der n − i + 1 Beilagen erhalten, die wir noch nicht besitzen.

Somit ist X i geometrisch verteilt mit Parameter p = n−i+1 n und es gilt E [X i ] = n−i+1 n .

Damit folgt aber sofort

E [X] =

n

X

i=1

E [X i ]

=

n

X

i=1

n n − i + 1

= n ·

n

X

i=1

1

i = n · H n , wobei H n := P n

i=1 1

i die n-te harmonische Zahl bezeichnet. Da H n = ln n + O(1), folgt E [X] = n ln n + O(n).

5.4 Poisson-Verteilung

Die Poisson-Verteilung mit dem Parameter λ ≥ 0 hat den Wertebereich W X = N 0 und besitzt die Dichte

f X (i) = e −λ λ i

i! f¨ ur i ∈ N 0 . f X ist eine zul¨ assige Dichte, da

Pr[X > y + x | X > x] = Pr[X ⁰ > y]. (6)

(1 − p) ⁱ⁻¹ p = (1 − p) ^x p ·

(1 − p) ⁱ

= (1 − p) ^x p · 1

1 − (1 − p) = (1 − p) ^x , sowie

= (1 − p) ^y+x · (1 − p) ^−x = (1 − p) ^y

Falls Z = z ist, so werden also genau n erfolgreiche und z − n nicht erfolgreiche Experimente durchgef¨ uhrt. Daf¨ ur gibt es genau _n−1 ^z−1

M¨ oglichkeiten, von denen jede mit Wahrscheinlichkeit p ⁿ (1 − p) ^z−n eintritt. Es gilt also

· p ⁿ (1 − p) ^z−n .

Somit ist X i geometrisch verteilt mit Parameter p = ⁿ⁻ⁱ⁺¹ _n und es gilt E [X i ] = _n−i+1 ⁿ .

E [X _i ]

i = n · H _n , wobei H n := P n

f X (i) = e ^−λ λ ⁱ

f _X (i) =

e ^−λ λ ⁱ i!

= e ^−λ · e ^λ = 1 .

i · e ^−λ λ ⁱ i!

= λe ^−λ

λ ⁱ⁻¹ (i − 1)!

= λe ^−λ

λ ⁱ i!

= λe ^−λ e ^λ = λ .

i(i − 1) · e ^−λ λ ⁱ i!

= λ ² e ^−λ

λ ⁱ⁻² (i − 2)!

= λ ² e ^−λ

λ ⁱ i!

= λ ² e ^−λ e ^λ = λ ² und

E[X(X − 1)] + E[X] − E[X] ²

= E [X ² ] − E [X] + E [X] − E [X] ² = Var[X] ,

Var[X] = E [X(X − 1)] + E [X] − E [X] ² = λ ² + λ − λ ² = λ. (7) Daf¨ ur, dass eine Zufallsvariable X Poisson-verteilt mit Parameter λ ist, schreiben wir auch

5.4.1 Poisson-Verteilung als Grenzwert der Binomialverteilung Wir betrachten eine Folge von binomialverteilten Zufallsvariablen X n mit X _n ∼ Bin(n, p _n ), wobei p _n = λ/n. F¨ ur ein beliebiges k mit 0 ≤ k ≤ n ist die Wahrscheinlichkeit, dass X _n den Wert k annimmt, gleich

b(k; n, p _n ) = n

· p ^k _n · (1 − p _n ) ^n−k

= (n · p _n ) ^k k! · n ^k

n ^k · (1 − p _n ) ^−k · (1 − p _n ) ⁿ

= λ ^k k! · n ^k

n ^k ·

n→∞ lim n ^k n ^k = 1,

n ) ^−k = 1, und