Es sei (V,Φ) ein euklidischer oder unit¨arer Vektorraum, und f¨ur X ∈V sei |X|:=p Φ(X, X)

SS 2004

Prof.Dr. G. Nebe

Andreas Martin Blatt 12

Ubungen zur Linearen Algebra¨

Abgabe : Dienstag 13.7.2004, 14.15 Uhr vor den ¨Ubungen

1. Die Folge (an)n∈N0 sei rekursiv definiert durch a0 := 0, a1 := 1, a2 := 2 und an+3 = 8an−12an+1+ 6an+2, ∀n ∈N₀ .

Bestimmen Sie eine explizite Formel f¨ur an. Berechnen Sie a100.

(4 P.) 2. Es sei (V,Φ) ein euklidischer oder unit¨arer Vektorraum, und f¨ur X ∈V sei

|X|:=p

Φ(X, X). Zeigen Sie.

(i) |X+Y|² =|X|²+|Y|² ⇐⇒ Re Φ(X, Y) = 0.

(Satz von Pythagoras)

(ii) |X+Y|²+|X−Y|² = 2(|X|²+|Y|²).

(Parallelogrammgleichung)

(iii) Φ(X, Y) = ¹₄(|X+Y|² − |X−Y|²−i|X+iY|²+i|X−iY|²).

(Polarisationsgleichung)

(je 2 P.) 3. Es sei

U :=h











 1 2 0 2 0











 ,











 5 2 1 0 2























 3 3 1 0 1













i ≤R⁵ , X :=











 1 0 3 1 0













∈R⁵ .

(i) Bestimmen Sie eine Orthonormalbasis von U bez¨uglich des Standard- skalarproduktes.

(ii) Bestimmen Sie die orthogonale Projektion von X auf U sowie den Abstand von X zu U.

(3+1 P.) 4. Untersuchen Sie folgende Matrizen auf positive Definitheit.

A:=





2 i 1

−i 2 2 1 2 4



∈C^3×3 , B :=





1 1 2 1 3 1 2 1 2



∈R^3×3 .

(je 2 P.) 5. Es seiA∈C^m×n. Wir betrachten das Standardskalarprodukt aufCⁿ. Zeigen

Sie.

(i) (KernA)^⊥ = BildA^∗. (ii) RangA= Rang(A^∗A).

(iii) Lin(A)|BildA∗ : BildA^∗ →BildA ist ein Isomorphismus.

(je 2 P.)

Tutoriumsaufgaben:

1. Es sei (V,Φ) ein euklidischer oder unit¨arer Vektorraum, und U, W seien Unterr¨aume vonV. Zeigen Sie.

(U^⊥)^⊥ =U, (U+W)^⊥=U^⊥∩W^⊥, (U ∩W)^⊥ =U^⊥+W^⊥.

2. Es sei

U :=h



 1 0 1



,



 1 1 0



i ≤R³ , X :=



 1 1 1



 .

Bestimmen SieU^⊥ und den Abstand von X zu U. 3. Untersuchen Sie die Matrix

A:=





3 i 2

−i 1 1 2 1 3



∈C^3×3

auf positive Definitheit. Finden Sie eine BasisB desC³, so daß f¨ur Φ(X, Y) :=

X^∗AY die Grammatrix^BΦ^B Diagonalgestalt hat.