Zeigen Sie, dass A und X−1AX die gleichen Eigenwerte haben

MATHEMATISCHESINSTITUT

PROF. DR. CHRISTIANEHELZEL

SINADAHM

5. DEZEMBER2018

Numerik II – 9. ¨Ubungsblatt

Aufgabe 31:

Seien A, X ∈ K^n×n und X nicht singul¨ar. Zeigen Sie, dass A und X⁻¹AX die gleichen Eigenwerte haben. Wie sind die Eigenvektoren von X⁻¹AX gegeben?

Aufgabe 32: Sei A ∈ R^n×n symmetrisch, (λ, x) eine N¨aherung an einen Eigenwert und den zugeh¨origen Eigenvektor mitkxk= 1 und dem Residuumη:=Ax−λx. Seienλ₁, . . . , λ_ndie Eigenwerte von A. Dann gilt:

mini |λ−λi| ≤ kηk₂.

Aufgabe 33: Zeigen Sie, dass das Eigenwertproblem f¨ur symmetrische Matrizen gut konditioniert ist.

Aufgabe 34: Sei

A=





8 1 0 1 4 ε 0 ε 1



, ε∈R, |ε|<1.

Geben Sie unter Verwendung von Gerschgorins Theorem eine Absch¨atzung f¨ur die Eigenwerte an.

Zeigen Sie, dass f¨ur den kleinsten Eigenwert eine Absch¨atzung der Form |λ−1| ≤ε² gilt.

Hinweis: Finden Sie eine geeignete ¨Ahnlichkeitstransformation.

b.w.

Aufgabe 35: (Zusatzaufgabe)

(a) Seien x, y∈Cⁿ⁺¹ (periodisch fortgesetzt). Die Faltung x ? y∈Cⁿ⁺¹ ist definiert durch (x ? y)_k=

n

X

j=0

xk−jy_j, k= 0, ..., n.

Beweisen Sie den Faltungssatz:

1

n+ 1c^x?y_k =c^x_kc^y_k, ∀k,

wobei c^z_k den k−ten zuz₀, ..., z_n geh¨origen Fourier-Koeffizienten bezeichnet.

(b) Schreiben Sie ein effizientes Programm zur Approximation von f(x) =

Z 2π 0

sin²(t) cos²(x−t)dt

f¨urx∈[0,2π] unter Verwendung der FFT. Vergleichen Sie ihr Ergebnis f¨ur verschiedene Werte von nmit der exakten L¨osung

f(x) =−1

4π(cos(2x)−2).

Stellen Sie die exakte L¨osung und die approximative L¨osung graphisch dar.

Die Zusatzaufgabe kann bis zum 19. Dezember 2018 abgegeben werden.

Abgabe am 12. Dezember 2018 am Beginn der Vorlesung.

Besprechung in den ¨Ubungen ab 19. Dezember 2018.