Technische Universität Chemnitz Stochastik Fakultät für Mathematik
Prof. Dr. I. Veselić, C. Schumacher, F. Schwarzenberger, M. Tautenhahn
Hausaufgabe 11
Abgabe am 24. Juni bzw. am 26. Juni in der Übung
Aufgabe 1. Zeigen Sie für k ∈ N , x
1, . . . , x
k∈ C und N ∈ N :
(x
1+ · · · + x
k)
N=
N
X
j1,...,jk=0
N j
1, . . . , j
kx
j11· · · x
jkk.
Hinweis: Bei j
1+ · · · + j
k6= N ist
j N1,...,jk
= 0.
Aufgabe 2. Es seien p ∈ [0, 1] und m, n ∈ N . Ermitteln Sie die Verteilung der Summe von n unabhängigen
(a) mit Parameter p Bernoulli-verteilten,
(b) ( N
0-wertigen) mit Parameter p geometrisch verteilten
Zufallsvariablen. Bestimmen Sie weiter die Verteilung der Summe von zwei unabhängigen (c) mit Parametern (n, p) bzw. (m, p) binomial-verteilten,
(d) mit Parametern (n, p) bzw. (m, p) negativ binomial-verteilten Zufallsvariablen.
Aufgabe 3. Es sei (X
n)
n∈Neine Folge unabhängiger, reellwertiger Zufallsvariablen auf einem Wahrscheinlichkeitsraum ( R , B( R ), P ). Jedes X
nbesitze eine Dichte f
n. Ferner sei N : R → N eine Zufallsvariable, die von (X
n)
n∈Nunabhängig ist. Zeigen Sie:
(a) Die zufällige Summe
S(ω) :=
N(ω)
X
n=1
X
n(ω)
ist eine Zufallsvariable.
(b) Die Funktion P
∞n=1
P ({N = n}) · (f
1∗ . . . ∗ f
n) ist eine Dichte von S.
Hinweis: Es könnte hilfreich sein, für k ∈ N die Zufallsvariable S
k(ω) = P
kn=1
X
n(ω) zu definieren.
Aufgabe 4. (a) Seien X
1, . . . , X
nunabhängige reellwertige Zufallsvariablen auf R mit Dichten f
Xi: R → [0, ∞), i ∈ {1, . . . , n}. Zeigen Sie: Die gemeinsame Verteilung von X
1, . . . , X
nist absolutstetig bezüglich des Lebesguemaßes auf R
nmit Dichte
f (t
1, . . . , t
n) =
n
Y
i=1
f
Xi(t
i).
(b) Umgekehrt seien X
1, . . . , X
nreellwertige Zufallsvariablen, deren gemeinsame Vertei- lung absolutstetig mit einer Dichte in Produktform ist:
f (t
1, . . . , t
n) =
n
Y
i=1
f
i(t
i), f
i: R → [0, ∞) messbar.
Zeigen Sie: X
1, . . . , X
nsind unabhängig und die Verteilungen sind absolutstetig mit Dichten
f
Xi= f
iR
R
