Technische Universität Chemnitz Stochastik Fakultät für Mathematik
Prof. Dr. I. Veselić, C. Schumacher, F. Schwarzenberger, M. Tautenhahn
Hausaufgabe 12
Abgabe am 1. Juli bzw. am 3. Juli in der Übung
Aufgabe 1. Es seienλ >0undr∈N. Fürn∈N,n > λ, seiTneine geometrisch verteilte Zufallsvariable mit Parameter pn := nλ. Bestimmen SieF(x) := limn→∞P(1nTn ≤x)für alle x∈R. Welche Verteilung beschreibtF?
Aufgabe 2. SeiPdie Gleichverteilung auf der MengeΩder Permutationen von{1, . . . , n}, n∈N. Für eine Permutationω ∈ΩbezeichneX(ω)die Anzahl der Fixpunkte. Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz vonX.
Hinweis: Es gilt X(ω) =Pn
i=11{ω∈Ω|ω(i)=i}(ω).
Aufgabe 3. Berechnen Sie Erwartungwert und Varianz einer Zufallsvariable X, die (a) Bernoulli-verteilt,
(b) binomialverteilt, (c) geometrisch verteilt,
(d) negativ binomialverteilt bzw.
(e) Poisson-verteilt ist.
Aufgabe 4. Berechnen Sie Erwartungswert und Varianz der Zufallsvariable X, falls X (a) normalverteilt,
(b) exponentialverteilt, (c) uniform verteilt bzw.
(d) Gamma-verteilt ist.
