Aufgabe 1. Zeigen oder widerlegen Sie, dass jede der folgenden Funktionen eine Wahr- scheinlichkeitsdichte ist und skizzieren sie ihren Graph.

Technische Universität Chemnitz Stochastik Fakultät für Mathematik

Prof. Dr. I. Veselić, C. Schumacher, F. Schwarzenberger, M. Tautenhahn

Hausaufgabe 8

Abgabe am 3. Juni bzw. am 5. Juni in der Übung

Aufgabe 1. Zeigen oder widerlegen Sie, dass jede der folgenden Funktionen eine Wahr- scheinlichkeitsdichte ist und skizzieren sie ihren Graph.

(a) f : (0, 2) → R , f(x) = 1 − |1 − x|.

(b) f : R → R , f(x) =

, β > 0, a ∈ R . (c) f : R → R , f(x) =

e

, σ > 0, µ ∈ R . (d) f : (0, ∞) → R , f (x) =

xe

.

Aufgabe 2. Sei X exponentialverteilt mit dem Parameter λ.

(a) Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion von X.

(b) Zeigen Sie, dass eine exponentialverteilte Zufallsvariable X gedächtnislos ist, d. h., dass für alle positiven Zahlen s und t gilt

P (X > s + t | X > s) = P (X > t).

(c) Seien X

, . . . , X

unabhängige Zufallsvariablen, die je einer Exponentialverteilung mit Parameter λ

, . . . , λ

folgen. Zeigen Sie Y = min{X

, . . . X

} ist exponentialverteilt ist und bestimmen Sie den Parameter.

Aufgabe 3. Sei (Ω, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum und X : Ω → ([0, ∞], B([0, ∞])) eine Zufallsvariable. Zeigen Sie:

(a) Die Abbildung φ : Ω × R → R

φ(ω, t) =

( 1 falls X(ω) > t, 0 sonst

ist A ⊗ B( R ) − B( R )-messbar.

(b) Die Abbildung F : R → [0, 1], F (t) = P (X > t) ist B( R ) − B([0, 1])-messbar.

(c) Zeigen Sie

E (X) :=

Z

Ω

X(ω)d P (ω) = Z

0

P (X > t)dt = Z

0

(1 − F

(t))dt.

Aufgabe 4. (a) Es seien F, F

: R → [0, 1], n ∈ N , Verteilungsfunktionen R -wertiger Zufallsgrößen und F stetig. Es gelte lim

F

(x) = F (x) für alle x ∈ R . Zeigen Sie, dass dann (F

)

gleichmäßig gegen F konvergiert.

(b) Beweisen oder widerlegen Sie (a) ohne die Voraussetzung der Stetigkeit von F .