Definition. Sei X eine reelle Zufallsvariable mit Verteilung P auf R . Eine Zahl µ ∈ R heißt Median oder Zentralwert von X bzw. P , wenn P (X ≥ µ) ≥ 1/2 und P (X ≤ µ) ≥ 1/2 gilt.

Technische Universität Chemnitz Stochastik Fakultät für Mathematik

Prof. Dr. I. Veselić, C. Schumacher, F. Schwarzenberger, M. Tautenhahn

Hausaufgabe 4

Abgabe am 6. Mai bzw. am 8. Mai in der Übung

Definition. Sei X eine reelle Zufallsvariable mit Verteilung P auf R . Eine Zahl µ ∈ R heißt Median oder Zentralwert von X bzw. P , wenn P (X ≥ µ) ≥ 1/2 und P (X ≤ µ) ≥ 1/2 gilt.

Aufgabe 1. (a) Ist der Median eindeutig? Begründen Sie ihre Antwort.

(b) Sei X eine Bernoulliverteilte Zufallsvariable mit Parameter p ∈ (0, 1). Berechnen Sie alle Mediane von X.

(c) Sei Y eine Binomialverteilte Zufallsvariable mit Parameter n und p = 1/2. Berechnen Sie alle Mediane von Y .

Aufgabe 2. Sei Ω eine abzählbare Menge mit σ-Algebra A = P (Ω). Sei M die Menge der Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf (Ω, A).

(a) Zeigen Sie, dass M konvex ist.

(b) Bestimmen Sie die Extremalpunkte von M . Hinweis: ein Element x einer konvexen Menge V heißt extremal, falls aus x = ty + (1 − t)z mit t ∈ (0, 1) und y, z ∈ V schon folgt, dass y = z = x.

(c) Zeigen Sie, dass sich jedes P ∈ M als „Mischung“ von Extremalpunkten darstellen lässt, d. h.

P = X

i

α

P

wobei α

≥ 0, X

i

α

= 1 und P

extremal.

Aufgabe 3. Sei (Ω, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Sei weiterhin T : Ω → Ω eine messbare Abbildung. Man nennt T eine maßerhaltende Transformation in dem Wahr- scheinlichkeitsraum (Ω, A, P ), falls für alle A ∈ A gilt P (T

(A)) = P (A).

Sei T eine maßerhaltende Transformation in dem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P ) und A ∈ A. Zeigen Sie, dass P -fast alle ω ∈ A rekurrent sind, das heißt, für P -fast alle ω ∈ A existiert ein n ∈ N , so dass T

(ω) ∈ A.

Aufgabe 4. Es seien (Ω, A, P ) ein Maßraum, (S, P (S)) ein abzählbarer Messraum und X

: Ω → S, i = 1, . . . , N Zufallsvariablen. Weiter sei für s ∈ S und ω ∈ Ω

H

(ω) := |{i ∈ {1, . . . , N } | X

(ω) = s}|.

Zeigen Sie, dass die Abbildungen

X : (Ω, A, P ) → (S

, P (S

)), X(ω) := (X

(ω), . . . , X

(ω)) und

H : (Ω, A, P ) → ({0, . . . , N }

, P ({0, . . . , N }

)), H(ω) := (H

(ω))

Zufallsvariablen sind.