Aufgabe 3: es sei f : (a, b)→ R n+ 1-mal stetig differenzierbar, und x, x+h∈ (a, b)

Prof. Dr. J. Ebert PD Dr. T. Timmermann

Ubung zur Analysis 2¨ Blatt 1

Abgabe bis Do, 16.04., 12 Uhr

Aufgabe 1: Es sei f : [1,∞) → R eine stetige, monoton fallende Funktion mit f(x)≥0 f¨ur allex. Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen ¨aquivalent sind:

(a) Die Reihe P∞

n=1f(n) konvergiert absolut.

(b) Das uneigentliche Integral R∞

1 f(t)dt:= limx→∞

Rx

1 f(t)dt existiert.

Man zeige, dass die Reihe (s ∈R) P∞ n=1

1

n^s genau dann konvergiert, wenn s >1 ist.

Aufgabe 2: Man finde eine Rekursionsformel f¨ur die Berechnung der unbestimmten Integrale

Z

cos(x)^kdx und zeige

Z π/2

0

cos(x)²ⁿ = π 2

n

Y

j=1

2j−1 2j sowie

Z π/2

0

cos(x)²ⁿ⁺¹ =

n

Y

j=1

2j 2j + 1. Tip: partielle Integration.

Aufgabe 3: es sei f : (a, b)→ R n+ 1-mal stetig differenzierbar, und x, x+h∈ (a, b). Man zeige, dass gilt:

f(x+h) =

n

X

k=0

1

k!f^(k)(x)h^k+ 1 n!hⁿ⁺¹

Z 1

0

(1−t)ⁿf⁽ⁿ⁺¹⁾(x+th)dt.

Hinweis: Induktion und partielle Integration.

Zusatzaufgabe 4: (a) Es sei I ⊂ R ein Intervall. Eine Funktion f : I → R heißt konvex, falls f¨ur alle x, y ∈I und alle t∈[0,1] die Ungleichungf(tx+ (1−t)y)≤tf(x)+(1−t)f(y) gilt. Man veranschauliche sich diese Bedingung anhand des Graphen vonf. Man beweise: istf zweimal differenzierbar, und f⁰⁰(x)≥0 f¨ur alle x∈I, so ist f konvex. Hinweis: f¨urx < z < y zeige man mit dem Mittelwertsatz, dass ^f(z)−f_z−x^(x) ≤ ^f(y)−f(z)_y−z gilt.

(b) Man zeige dieYoungsche Ungleichung: sindp, q ∈(1,∞) mit ¹_p+¹_q = 1 und a, b ≥ 0, so gilt ab ≤ ¹_pa^p + ¹_qb^q. Tip: 1. die Ungleichung ist trivialerweise richtig, wenn a = 0 oder b = 0 gilt; also setze man a, b > 0. 2. aus Aufgabenteil 1 folgt, dass f(x) := e^x eine konvexe Funktion auf Rist.

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