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a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 + · · · + a 2n x n = b 2

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Academic year: 2021

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(1)

05. Lineare Gleichungssysteme

Wir betrachten ein System von m Gleichungen in n Unbestimmten (Unbekannten) x 1 , . . . , x n von der Form

a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + · · · + a 1n x n = b 1

a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 + · · · + a 2n x n = b 2

... ... ... ... ... ...

a m1 x 1 + a m2 x 2 + a m3 x 3 + · · · + a mn x n = b m

Dies ist ein lineares inhomogenes Gleichungssystem.

• a ij ∈ R mit i = 1, . . . , m und j = 1, . . . , n heißen Koeffizienten des Gleichungssystems.

• ⃗b =

b 1

...

b m

∈ R m wird auch als St¨ orvektor bezeichnet.

• Ein Vektor ⃗ x =

x 1 ...

x n

∈ R n , der mit seinen Komponenten das Gleichungssystem erf¨ ullt, heißt eine L¨ osung dieses Systems.

• Ist ⃗b = ⃗ 0 , dann liegt ein lineares homogenes Gleichungssystem vor.

a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + · · · + a 1n x n = 0 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 + · · · + a 2n x n = 0

... ... ... ... ... ...

a m1 x 1 + a m2 x 2 + a m3 x 3 + · · · + a mn x n = 0

Ansonsten heißt das System inhomogen. Jedes inhomogene System hat ein zugeh¨ origes homogenes System.

Bemerkung. Es gibt folgende M¨ oglichkeiten f¨ ur die L¨ osungsgesamtheit

eines linearen (inhomogenen) Gleichungssystems:

(2)

1. Es existiert keine L¨ osung.

2. Es existiert eine L¨ osung, sie ist jedoch nicht eindeutig bestimmt. In diesem Fall existieren unendlich viele L¨ osungen.

3. Es existiert genau eine L¨ osung.

Bemerkung. Im R 3 gibt es dazu auch eine geometrische Inter- pretation. Betrachten wir dazu ein System von drei Gleichungen in drei Unbekannten.

Jede einzelne Gleichung stellt die Gleichung einer Ebene im R 3 dar.

Dann kann es sein, dass die drei Ebenen keinen gemeinsamen Punkt be- sitzen, sich entlang einer gemeinsamen Geraden schneiden, oder genau einen gemeinsamen Punkt besitzen.

Definition. Eine m × n Matrix A ist ein rechteckiges Zahlenschema bestehend aus m Zeilen und n Spalten

A =

 

 

a 11 a 12 · · · a 1n a 21 a 22 · · · a 2n ... ... . . . ...

a m1 a m2 · · · a mn

 

  = (a ij )

• M (m × n) ist die Menge aller m × n Matrizen.

• a ij ∈ R heisst Element der Matrix, es steht in der i − ten Zeile und der j − ten Spalte von A .

i bezeichnet den Zeilenindex (1 ≤ i ≤ m), j bezeichnet den Spal- tenindex (1 ≤ j ≤ n).

• Ist die Anzahl der Spalten gleich der Anzahl der Zeilen (m = n) , dann liegt eine quadratische Matrix vor.

• Die in einer Zeile stehenden Elemente einer Matrix k¨ onnen zu einem Zeilenvektor zusammengefasst werden.

(a i1 , a i2 , . . . , a in ) = ⃗ z i ∈ R n i − ter Zeilenvektor

(3)

Analog ist

 

  a 1j a 2j ...

a mj

 

  = ⃗ s j ∈ R m der j − te Spaltenvektor.

Ein Gleichungssystem l¨ asst sich elegant in Matrizenschreibweise darstellen.

Dazu wird ein Produkt zwischen einer Matrix A ∈ M (m × n) und einem Vektor ⃗ x ∈ R n wie folgt erkl¨ art:

A · ⃗ x =

 

 

a 11 a 12 · · · a 1n

a 21 a 22 · · · a 2n ... ... . . . ...

a m1 a m2 · · · a mn

 

  ·

 

  x 1

x 2 ...

x n

 

  =

=

 

 

a 11 x 1 + a 12 x 2 + · · · + a 1n x n a 21 x 1 + a 22 x 2 + · · · + a 2n x n

... ... ... ...

a m1 x 1 + a m2 x 2 + · · · + a mn x n

 

  ∈ R m

Damit kann nun das Gleichungssystem angegeben werden in der Form A · ⃗ x = ⃗b .

A wird dabei als Koeffizientenmatrix bezeichnet.

Dar¨ uber hinaus definiert man die erweiterte Koeffizientenmatrix (A,⃗b) durch

(A,⃗b) =

 

 

a 11 a 12 · · · a 1n | b 1 a 21 a 22 · · · a 2n | b 2 ... ... . . . ... | ...

a m1 a m2 · · · a mn | b m

 

  ∈ M (m × (n + 1))

Die L¨ osungsmenge des Systems A · ⃗ x = ⃗b ist dann die Menge

{ ⃗ x ∈ R n : A · ⃗ x = ⃗b } ⊆ R n .

(4)

Ein wichtiger Begriff in diesem Zusammenhang ist der Begriff der Zeilen- stufenform einer Matrix.

Definition. Eine Matrix A ist in Zeilenstufenform, wenn sie folgende Gestalt besitzt

A =

 

 

 

 

 

 

0 · · · 0 | a 1j

1

· · · · · · · 0 · · · 0 | a 2j

2

... . . .

0 · · · 0 | a rj

r

· · ·

0 · · · 0

... · · · ...

0 · · · 0

 

 

 

 

 

 

wobei

die Stufenelemente a 1j

1

̸ = 0 , . . . , a rj

r

̸ = 0 sind.

Die ¨ uber der Stufenlinie stehenden Elemente k¨ onnen beliebig sein. Alle unterhalb der Stufenlinie stehenden Elemente sind gleich Null.

Definition. F¨ ur eine Matrix A in Zeilenstufenform sei r die Anzahl der vom Nullvektor verschiedenen Zeilenvektoren. Diese Anzahl definiert den Rang von A ,

rang A = r .

Bemerkung. Durch Vertauschen von Spalten (dies entspricht in einem Gleichungssystem der Umnummerierung der Unbekannten) kann eine Ma- trix in Zeilenstufenform auf folgende Form gebracht werden

A ′ =

 

 

 

 

a ′ 11 · · · · 0 | a ′ 22 · · · · 0 0 | . . . · · · · 0 0 0 | a ′ rr · · ·

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

 

 

 

 

Man beobachtet, dass sich dadurch die Anzahl der vom Nullvektor ver-

(5)

schiedenen Zeilenvektoren nicht ¨ andert, also ist rang A = rang A ′ .

Ein Gleichungssystem A · ⃗ x = ⃗b sei nun so beschaffen, dass die erweiterte Koeffizientenmatrix (A,⃗b) von Zeilenstufenform ist.

(A,⃗b) =

 

 

 

 

 

 

0 · · · 0 | a 1j

1

· · · · · · · | b 1

0 · · · 0 | a 2j

2

· · · | b 2

... . . . | ...

|

0 · · · 0 | a rj

r

· · · | b r

0 · · · 0 | b r+1

... · · · | ...

0 · · · 0 | b m

 

 

 

 

 

 

• Ist eine der Zahlen b r+1 , . . . , b m ungleich Null, z.B. b k ̸ = 0 , dann lautet die k − te Gleichung

0 · x 1 + 0 · x 2 + . . . + 0 · x n = b k ̸ = 0 , ein Widerspruch!

In diesem Fall ist das Gleichungssystem nicht l¨ osbar, d.h. es existiert keine L¨ osung.

• Falls b r+1 = . . . = b m = 0 , dann werden jene Unbekannte x i , deren Index nicht einer Stufenkante entspricht (also i ̸ = j 1 , . . . , i ̸ = j r ) als frei w¨ ahlbare Variable gesetzt, und die ¨ ubrigen Variablen x j

1

, . . . , x j

r

k¨ onnen durch diese ausgedr¨ uckt werden.

Die Anzahl der frei w¨ ahlbaren Variablen ist also k = n − rang A = n − r .

• Sind keine Variablen frei w¨ ahlbar, ist also rang A = n , dann spricht man von einer Matrix mit maximalem Rang.

• Das vorliegende Gleichungssystem ist also l¨ osbar, wenn b r+1 = . . . = b m = 0 . Dies ist genau dann der Fall, wenn

rang A = rang (A,⃗b) .

(6)

Ist nun ein beliebiges Gleichungssystem gegeben, dann kann dieser Fall durch Verwendung von elementaren Zeilenumformungen auf den zu- vor diskutierten Fall zur¨ uckgef¨ uhrt werden.

Dabei gibt es drei Arten der Umformung:

Typ I: Vertauschung von zwei Zeilen.

Typ II: Multiplikation der i − ten Zeile mit λ ̸ = 0 und anschließende Addition zur k − ten Zeile, wobei i ̸ = k .

Typ III: Multiplikation der i − ten Zeile mit λ ̸ = 0 .

Satz. Jede Matrix A kann durch elementare Zeilenumformungen vom Typ I und vom Typ II auf Zeilenstufenform gebracht werden.

Definition. Der Rang einer beliebigen Matrix A ∈ M (m × n) ist gleich dem Rang der aus A durch elementare Zeilenumformungen entstandenen Matrix A e von Zeilenstufenform, d.h.

rang A := rang A e

Bemerkung. Der Rang einer Matrix A ∈ M (m × n) ist gleich der Maxi- malanzahl der linear unabh¨ angigen Zeilenvektoren, und dies ist zugleich auch die Maximalanzahl der linear unabh¨ angigen Spaltenvektoren.

Bemerkung. Sei (A,⃗b) die erweiterte Koeffizientenmatrix eines Glei- chungssystems und ( A, e ⃗b) die daraus entstandene Matrix in Zeilenstufen- e form.

Dann sind die L¨ osungsr¨ aume der Systeme A · ⃗ x = ⃗b und A e · ⃗ x = ⃗b e gleich.

Zusammenfassung.

Das zuvor diskutierte Verfahren zur L¨ osung eines Gleichungssystems

A · ⃗ x = ⃗b , A ∈ M (m × n) , ⃗b ∈ R m heißt auch Gauss Algorithmus.

(7)

• Bilde die erweiterte Koeffizientenmatrix (A,⃗b) und f¨ uhre diese auf Zeilenstufenform ( A, e ⃗b) ¨ e uber.

Man nennt A e · ⃗ x = ⃗b e das zugeh¨ orige reduzierte Gleichungssystem.

• A e · ⃗ x = ⃗b e ist l¨ osbar ⇔ rang A e = rang ( A, e ⃗b) e ⇔

⇔ rang A = rang (A,⃗b) ⇔ A · ⃗ x = ⃗b ist l¨ osbar.

• Die Anzahl k der frei w¨ ahlbaren Parameter ist gegeben durch k = n − r , r = rang A .

Ist rang A = rang (A,⃗b) = n , dann ist das Gleichungssystem eindeutig l¨ osbar.

• A · ⃗ x = ⃗b und A e · ⃗ x = ⃗b e haben die gleiche L¨ osungsgesamtheit.

L¨ ose A e · ⃗ x = ⃗b e rekursiv beginnend mit der letzten Gleichung.

Bemerkung. Die allgemeine L¨ osung des inhomogenen Systems A · ⃗ x = ⃗b kann stets in der Form

⃗

x = w ⃗ + λ 1 ⃗ v 1 + . . . + λ k ⃗ v k , k = n − r , r = rang A geschrieben werden. Dabei sind

• w ⃗ eine spezielle L¨ osung des inhomogenen Systems

• ⃗ v 1 , . . . , ⃗ v k linear unabh¨ angige L¨ osungen des zugeh¨ origen homogenen Systems A · ⃗ x = ⃗ 0 .

• ⃗ v = λ 1 ⃗ v 1 + . . . + λ k ⃗ v k ist dann die allgemeine L¨ osung des zugeh¨ origen homogenen Systems.

• Die allgemeine L¨ osung ⃗ x = w ⃗ + ⃗ v des inhomogenen Systems setzt

sich zusammen aus der allgemeinen L¨ osung ⃗ v des zugeh¨ origen homogenen

Systems und einer speziellen L¨ osung w ⃗ des inhomogenen Systems.

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