a) Wie lautet die Definition der Ableitung einer Funktion f (x) im Punkt x

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Institut f¨ ur Biologische Physik Prof. Dr. Joachim Krug

der Universit¨ at zu K¨ oln — WS 2019/2020 Alexander Klug

Mathematische Methoden f¨ ur das Lehramt

Kurzfragen zur Vorbereitung auf die Klausur

a) Wie lautet die Definition der Ableitung einer Funktion f (x) im Punkt x

0

?

b) Wie h¨ angen das Skalarprodukt und der von zwei Vektoren ~a und ~b eingeschlossene Winkel φ zusammen?

c) Was ist die geometrische Interpretation von Betrag und Richtung des Vektorprodukts ~a ×~b?

d) Wie ist der Gradient einer skalaren Funktion f (~ x) mit ~ x ∈ R

ⁿ

definiert?

e) Wie ist das Kraftfeld des Potentials V (~ r) definiert?

f ) Welche Gr¨ oßen in der Mechanik sind Erhaltungsgr¨ oßen?

g) Wie ist der Drehimpuls eines Teilchens bez¨ uglich des Bezugspunktes r ~

₀

definiert?

h) Wie h¨ angt die Frequenz eines unged¨ ampften harmonischen Oszillators von der Auslenkung ab?

i) Wie viele reelle L¨ osungen und wie viele imagin¨ are L¨ osungen hat die Gleichung x

²

+ 1 = 0?

j) Wie lautet die kartesische/polare/eulersche Darstellung einer komplexen Zahl z?

k) Geben Sie einen Ansatz oder eine Methode zur L¨ osung folgender Differentialgleichungen an.

Sie m¨ ussen die DGL nicht l¨ osen.

i) ˙ N (t) = −λN(t) | λ ∈ R

ii) ˙ y(t) − ay(t) + by(t)

²

= 0 | a, b ∈ R

l) Geben Sie f¨ ur jedes der folgenden Kriterien jeweils eine Differentialgleichung als Beispiel an:

i) inhomogen ii) 2. Ordnung iii) nichtlinear

iv) linear mit nicht-konstanten Koeffizienten v) partiell

m) Wie lautet die Bewegungsgleichung des ged¨ ampften harmonischen Oszillators? Die L¨ osung der DGL f¨ uhrt auf drei verschiedene F¨ alle. Benennen Sie diese.

n) Gegeben Sei ein Potential V (x). Wie ist eine stabile Ruhelage definiert?

o) Wie lautet die Definition der Taylorentwicklung?

p) Erkl¨ aren Sie die Bedeutung der Taylorentwicklung anschaulich.

q) Wie lautet die Hesse-Matrix einer Funktion f(x

1

, x

2

) am Ursprung?

r) Wie ist der Normalenvektor ~ n einer Fl¨ ache A definiert?

s) Was f¨ ur ein Gebiet wird durch {(x, y)| − R ≤ x ≤ R, − √

R

²

− x

²

≤ y ≤ √

R

²

− x

²

} beschrie- ben?

t) Wie ist die Rotation und die Divergenz eines Vektorfeldes V ~ (~ x) ∈ R

³

mit ~ x ∈ R

³