Universit¨at Heidelberg
Interdisziplin¨ares Zentrum f¨ur Wissenschaftliches Rechnen
Dr. Andreas Potschka
Ubungsblatt 5¨
Einf¨uhrung in die Numerik, Sommersemester 2017
1. Differentiation durch Extrapolation (4 Punkte)
F¨ur die Funktion f(x) = cosh(x) ist die Wertetabelle
x 0,52 0,56 0,60 0,64 0,68
f(x) 1,1382741 1,1609408 1,1854652 1,2118867 1,2402474
gegeben. Man bestimme durch Extrapolation eines geeigneten Differenzenquotienten m¨oglichst gute N¨aherungen zum Ableitungswert f0(0.6) = 0,63665358. . ..
2. Extrapolationsfolgen (3 Punkte)
Welche von den Indexfolgen
(i) ni= 2i−1, i∈N, (ii) ni = 3i, i∈N, (iii) ni =i2, i∈N, f¨ur Schrittweiten hi=h/ni ist zul¨assig f¨ur die Extrapolation zum Limes?
3. Spline-Interpolation (1,5 + 3 + 0,5 = 5 Punkte) Es bezeichne S0 den Vektorraum der kubischen, nat¨urlichen Spline-Funktionen zu den St¨utzstellen x0 = 0, x1 = 1, x2= 2 .
a) Sind die folgenden Funktionen in S0?
i) f(x) =x3−x2, ii) f(x) =x2(x−6)−(x−2)3, iii)f(x) = max{0, x−1}3−12x3 b) Man bestimme den interpolierenden Spline s2 ∈S0 f¨ur f(x) =x3.
c) Wie lautet das Ergebnis, wenn dienat¨urlichenRandbedingungen durch s002(x0) =f00(x0), und s002(x2) =f00(x2) ersetzt werden.
4. Gauß-Legendre-Polynome (4 Punkte)
Man zeige, dass die durch
φk(x) = k!
(2k)!
dk
dxk(x2−1)k, k= 0,1, . . ., n,
definierten Polynome orthogonal bzgl. des L2-Skalarprodukts ¨uber [−1,1] sind, und dass
kφkk= k!2 (2k)!
s 22k+1
2k+ 1, φk(1) = k!2 (2k)!2k. Durch Normierung erh¨alt man hieraus die sog. Gauß-Legendre-Polynome
Lk(x) := (2k)!
k!22kφk(x), L(1) = 1.
Hinweis: Man verwende partielle Integration, leite f¨ur die Integrale Ik := R1
−1(1−x2)kdx eine einstufige Rekursionsformel her und differenziere die Funktion (x2−1)k.
PA. Gauß-Legendre-Polynome (4 + 6 + 5 = 15) Punkte) Diese Aufgabe ist etwas anspruchsvoller und umfangreicher, daf¨ur haben Sie auch zwei Wo- chen Zeit f¨ur die Bearbeitung des ¨Ubungsblattes.
(a) F¨urh= 2/N kann man auf dem ¨aquidistanten Gitterxi =−1 +ih,i= 0, . . . , N, ¨uber [0,1] die zusammengesetzte Trapezregel
Z 1
−1
f(x)dx≈h
"
1
2f(x0) +
N−1
X
i=1
f(xi) +1 2f(xN)
#
=:a(h)
zur Approximation des Integrals benutzen. Schreiben Sie eine Funktion, die auf der Basis von l geschachtelten Gittern der Feinheit hi = 21−i, i = 0, . . . , l−1, den Wert a(0) durch Richardsonsche Extrapolation zum Limes approximiert. Nutzen Sie dabei aus, dass f¨ur f ∈ C2m+2 die Funktion a(h) eine Entwicklung in Potenzen von h2 bis zum Gliedh2m mit einem Restglied O(h2m+2) zul¨asst.
Hinweis:Siehe Kapitel 3.3 im Skript.
(b) Schreiben Sie eine Funktion, die f¨ur zwei Polynome p, q∈Pn dasL2-Skalarprodukt (p, q) =
Z 1
−1
p(x)q(x)dx berechnet. Gehen Sie dazu wie folgt vor:
• Stellen Sie die Polynomen-ten Grades dar durch ihre Werte auf den Tschebytschow- Punkten zweiter Art
ξk=−cos πk
n
, k= 0, . . . , n.
Warum ergibt dieser Ansatz eine Basis vonPn?
• Als Argumente f¨ur die Funktion des Skalarproduktes geben Sie zwei Vektoren mit Knotenwerten der Polynomepundqin denξiund als drittes Argument den Vektor der St¨utzstellen ξi an.
• Setzen Sie dann eine Funktion zusammen, die an beliebigen Stellent∈[−1,1] das Produkt von p und q auswertet. Sie k¨onnen dazu Lambda-Funktionen in Python verwenden, etwa
f = lambda t: interpolate(t, xi, p) * interpolate(t, xi, q) mit der Funktioninterpolate aus der Vorlesung. Im Anschluss k¨onnen Sie f(t) ganz normal als Python-Funktion benutzen.
• Approximieren Sie das Skalarprodukt mittels Extrapolation zum Limes f¨ur die Tra- pezregel.
Hinweis:Eine effiziente Wahl der Anzahl l der Extrapolationspunkte ist an dieser Stelle nicht gefordert. W¨ahlen Siel= 10.
(c) Programmieren Sie den Gram-Schmidt-Algorithmus, um aus der Monombasis{xi}ni=0, dargestellt als Knotenwerte in den ξi, ein Orthonormalsystem zu konstruieren. Es ist hilfreich, die Basen als M ×M-Matrizen abzuspeichern, wobei M = n+ 1. Auf diese Weise erhalten Sie (bis auf Normierung) die sogenannten Gauß-Legendre-Polynome.
Plotten Sie diese f¨urn= 6.
Abgabe bis Donnerstag, 01.06.2017, 14:15 Uhr.
Webseite:
http://typo.iwr.uni-heidelberg.de/groups/mobocon/teaching/numerik-0-ss17
