Prof. Dr. Moritz Kaßmann Fakult¨at f¨ur Mathematik
Wintersemester 2012/2013 Universität Bielefeld
Ubungsaufgaben zu¨ Spezielle Aspekte der Analysis Blatt X vom 14. Dezember 2012
Abgabe bis Freitag, 21.12.12, 10 Uhr im Postfach Ihres Tutors (V3-128)
Aufgabe X.1 (5 Punkte)
Die Funktionf:R2 →R ist definiert durch
f(x, y) =x2−3xy+xy3+ 1.
Bestimmen Sie Lage und Art aller lokalen Extrema sowie die zugeh¨origen Funktions- werte. An welchen Stellen liegen Sattelpunkte vonf vor?
Aufgabe X.2 (5 Punkte)
F¨ur jede Zahla∈Rist eine Funktionfa:R2 →Rgegeben durch
fa(x, y) =x3−y3+ 3axy.
Weisen Sie nach, dass
a) f0 keine Extremstelle hat,
b) fa f¨ura >0 genau ein lokales Minimum sowie genau einen Sattelpunkt hat, c) fa f¨ura <0 genau ein lokales Maximum sowie genau einen Sattelpunkt hat.
Aufgabe X.3 (5 Punkte)
Die Funktionf:R3 →R ist definiert durch
f(x, y, z) = 2x2−xy+ 2xz−y+y3+z2.
Bestimmen Sie Lage und Art aller lokalen Extrema sowie die zugeh¨origen Funktions- werte.
Aufgabe X.4 (5 Punkte)
Bestimmen Sie alle lokalen und globalen Extrema der Funktion f: [0, π]×[0, π] → R, f(x, y) = sin(x) cos(y).
