Fourierreihen Pr¨ufungsvorbereitung
Aufgabe 1
Gegeben ist die nachstehend skizzierte 2π-periodische Rechteck-Funktion.
x y
0 π2 2π 5π
2
π
Bestimme die Fourierreihe dieser Funktion m¨oglichst so weit, bis ersichtlich wird, wie sich die Folge der Koeffizienten fortsetzt.
Aufgabe 2
Gegeben ist die 2π-periodische Funktion f mit der Gleichung f(x) =
( 0 f¨ur−π ≤x <0 sinx f¨ur 0≤x < π
x y
−2π −π 0 π 2π
Bestimme folgende Fourierkoeffizienten durch formale Rechnung: a0, a1, b1 und a2 . Wo dies m¨oglich ist, k¨onnen Formeln der Formelsammlung entnommen werden.
Aufgabe 3
Erkl¨are das Konzept der Fourierreihe.
Aufgabe 4
Ist die Funktion f(x) = x3(x4−1) cos(222x)|x|
(a) gerade, (b) ungerade,
(c) weder gerade noch ungerade?
Begr¨unde die Antwort.
Aufgabe 5
Berechne mit Hilfe des Taschenrechners die (endliche) Fourierzerlegung vonf(x) = sin3x.
1
Aufgabe 6
Bestimme den exakten Wert des Integrals.
(a) Z 99
−99
x99dx (b)
Z 99
−99
x98dx (c)
Z 2309π
2307π
sinxdx
Aufgabe 7
Berechne die Integrale: (Begr¨unde, falls keine Rechnung n¨otig ist.) (a)
Z 2π
0
cos 33x·sin 55xdx
(b) Z 2π
0
sin 77x·sin 77xdx
(c) Z π
0
cos 55x·sin 44xdx
Aufgabe 8
Welche Periode T hat die Funktion f(t) = cos(0.2πt+ 1)?
Aufgabe 9
Die beiden auf dem Intervall [−π, π) definierten Funktionen
• f(x) =
(0 f¨ur−π ≤x <0 1 f¨ur 0≤x < π
• g(x) =−1
werden ausserhalb dieses Intervalls 2π-periodisch fortgesetzt.
Berechne mit Hilfe des f¨ur 2π-periodische Funktionen definierten Skalarprodukts den Win- kel ϕ zwischen den beiden Funktionen.
Aufgabe 10
Skizziere die 2π-periodisch fortzusetzende Funktion f(x) =
(x f¨ur 0≤x < π π f¨urπ ≤x <2π
und berechne formal die Fourierkoeffizienten a0, a1 und b2.
2
Aufgabe 11
Ermittle mit Hilfe der Fourierentwicklung bereits bekannter Funktionen (siehe Formelsamm- lung) die Fourrierreihe der gegebenen Funktion.
(a) f(x) =
( 1 f¨ur 0≤x < π
−1 f¨urπ ≤x <2π (b) f(x) =
(x+π f¨ur−π ≤x <0 π−x f¨ur 0≤x < π Aufgabe 12
Welche der folgenden Funktionen hat die besser konvergierende Fourierreihe? Begr¨unde die Antwort.
• f(x) = e1−x2 f¨ur−π ≤x < π
• g(x) =π2−x2 f¨ur−π ≤x < π Aufgabe 13
Skizziere mit dem Taschenrechners n¨aherungsweise den Graphen der 2π-periodischen Funktion f(t), die durch die Fourierreihe
f(t) =
∞
X
k=1
(−1)k 2
kπsin(kt)
definiert wird. Skizziere anschliessend den Graphen von f(t) exakt f¨ur −3π < t < 3π in das vorbereitete Koordinatensystem.
t y
−1 1
−2π −π π 2π
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