Abi-Kurs Sto 2017 S. 1 von 3
Beschr¨ anktes Wachstum
Zur Erinnerung
Exponentielles Wachstum
f (x) = f (0) · e
kx mit k >0Exponentielle Abnahme
f (x) = f (0) · e
−kx mit k > 04. M¨arz 2017
Abi-Kurs Sto 2017 S. 2 von 3
Beschr¨ anktes Wachstum / Beschr¨ ankte Abnahme
liegen z.B. vor bei
• Saft erw¨armt sich nach Entnahme aus dem K¨uhlschrank auf Zimmertemperatur.
• Tee k¨uhlt nach dem Aufbr¨uhen auf Zimmertemperatur ab.
Charakteristisch f¨ur das beschr¨ankte Wachstum und die beschr¨ankte Abnahme sind folgende Aussagen:
a) Der Abstand zu einer Schranke S nimmt ab.
b) Die momentane ¨Anderungsrate f0(x) ist proportional zur momentanen Differenz zwischen der Schranke S und dem momentanen Bestand f(x).
Als Formel bedeutet dies
(*) f0(x) = k·(S−f(x)) mit k >0
F¨ur die Form der Funktionf ergibt sich daraus
(**) f(x) = S+ (f(0)−S)·e−kx mit k >0
Wenn man somit eine Funktion in die Form (*) bringen kann, dann liegt beschr¨anktes Wachstum bzw. beschr¨ankte Abnahme vor.
4. M¨arz 2017
Abi-Kurs Sto 2017 S. 3 von 3
Beispielaufgabe “Kl¨arbecken“ (LS Kursstufe 191)
In ein biologisches Kl¨arbecken, das anfangs nicht verunreinigt ist, laufen pro Minute 90 Liter Abwasser ein.
Die momentane Abbaurate des Abwassers (in minl ) betr¨agt 6% des jeweils vorhandenen Abwassers.
a) Stelle die Funktionsgleichung f(t) auf, welche die Abwassermenge (in Litern) beschreibt, die sich zur Zeit t (in Minuten) in dem Becken befinden.
b) Wie viel Liter verunreinigtes Wasser befinden sich maximal in dem Becken?
c) Wie groß ist die momentane Zuwachsrate vonf(t), wenn sich 1000 Liter Abwasser in dem Becken befinden? Nach welcher Zeit ist dies der Fall?
L¨osung
a) Die momentane ¨Anderungsrate f0(t) f¨ur die Funktion f(t)setzt sich zusammen aus dem konstanten Zufluss und der jeweils abgebauten Menge; daher gilt:
f0(t) = 90−0,06·f(t)
Durch Ausklammern von “0,06“ erh¨alt man
f0(t) = 0,06·(1500−f(t))
Dies ist eine Gleichung der Form (*) (von der vorangehenden Seite) mit f(0) = 0, S = 1500und k = 0,06.
Somit gilt
f(t) = 1500−1500·e−0,06t
b) Die maximale Menge verunreinigten Wassers entspricht der Schranke S, also 1500 Liter.
c) Zu dem betreffenden Zeitpunktt gilt f(t) = 1000, also
1500−1500·e−0,06t = 1000
−1500·e−0,06t = −500
−0,06t = ln(13) t = ln(13)
−0,06 ≈ 18,31 f0(18,31) = 0,06·(1500−1000) = 30
4. M¨arz 2017
