konstanter Faktor [C · f (x)] 0 = C · f 0 (x) algebr. Summe [f (x) ± g(x)] 0 = f 0 (x) ± g 0 (x) Produktregel [u(x) · v(x)] 0 = u 0 v + v 0 u Quotientenregel [ u(x)

Technische Universit¨ at Chemnitz Prof. Dr. Bernd Hofmann, Prof. Dr. Horst Martini

Fakult¨ at f¨ ur Mathematik Anna Trauth, Jan Blechschmidt

Ubung Elementarmathematik im WS 2011/12 ¨ 5. ¨ Ubungsblatt

Differential- und Integralrechnung Differentialrechnung

konstanter Faktor [C · f (x)] ⁰ = C · f ⁰ (x) algebr. Summe [f (x) ± g(x)] ⁰ = f ⁰ (x) ± g ⁰ (x) Produktregel [u(x) · v(x)] ⁰ = u ⁰ v + v ⁰ u Quotientenregel [ u(x)

v(x) ] ⁰ = u ⁰ v − v ⁰ u v ²

Kettenregel d

dx f v[u(x)] = df dv · dv

du · du dx

1. Leiten Sie folgende Audr¨ ucke ab:

a) f (x) = 3x ⁴ − 1 + 4x √

x ² +

√ x + 1

x ² b) f (x) = x ² e ^x c) f (x) = 1

x ² − 1 d) f (x) = x

x ² + 1 e) f (x) = sin(x ² − 1) f) f(x) = sin ³ (x ² − 1)

g) f (x) = b ^x h) f (x) = x ^b

2. Bilden Sie die erste Ableitung:

a) f (x) = 5x ³ − 2 + 2

√ x ³ − 2

x ³ b) f (x) = 1 + x √ x +

√ x ⁻ 2 x ²

c) f (x) = cos x

1 − sin x d) f (x) = sin x + cos x sin x − cos x e) f (x) = x ³ (x ² − 1) ³ f) f(x) = sin ² ωx

1

Integralrechnung

konstanter Faktor R

[C · f (x)dx] = C R

f(x)dx

algebr. Summe R

[f (x) ± g(x)]dx = R

f(x)dx ± R

g(x)dx Produktregel R

uv ⁰ dx = uv − R

u ⁰ vdx (partielle Integration) 1. Berechnen Sie die folgenden unbestimmten Integrale:

a) R

(x ² )dx b) R

(x ⁴ + 3x √

x − 2 + 4

x ² )dx c) R x ² − 2

√ x ³ dx d) R

(4x − 9) ¹⁰ dx e) R

e ^−3x dx f) R

sin x 2 dx g) R √

5 − 6xdx h) R 1

cos ² 2x dx i) R dx

√

1 − 4x ² j) R

sin ⁴ x cos xdx k) R

xe ^x

⁻³ dx l) R e ^x e ^x + 4 dx m) R e ^x

e ^2x + 4 dx n) R

x ² sin xdxdx o) R ln xdx

p) R dx

x ² − 4 q) R x ² − 2x − 1 x − 1

2. Berechnen Sie die folgenden bestimmten Integrale:

a) R 1

0 (3 − x ² ) ² dx b) R 1

0 x(3 − x ² ) ⁵ dx c) R 1 0

x ² 1 + x ² dx

2