Prof. Dr. J. Ebert PD Dr. T. Timmermann
Ubung zur Analysis 2¨ Blatt 9
Abgabe bis Do, 18.06., 12 Uhr
Zusatzaufgabe 5 SeiU ⊆Rnoffen undf:U →Rnein stetig differenzierbarer lokaler Diffeomorphismus. Sei ferner K ⊆U kompakt, g: U → Rn stetig differenzierbar und g(x) = 0 f¨ur alle x 6∈ K. Zeigen Sie, dass dann ein > 0 existiert mit folgender Eigenschaft: F¨ur alle t∈(−, ) ist die gest¨orte Funktion
ft:U →Rn, x7→f(x) +tg(x),
ein lokaler Diffeomorphismus.
L¨osung: Die stetigen Funktionen x7→1/k(Df(x))−1k und x7→ kDg(x)k nehmen auf der kompakten K ein Minimum cf bzw. Maximum Cg an. Ist Cg = 0, so auch g = 0 und beliebig. Andernfalls sei :=cf/Cg. Dann gilt f¨ur alle t∈(−, ) und x∈K:
Dft(x) =Df(x) +tDg(x).
Hier ist A := Df(x) invertierbar mit 1/kA−1k ≥cf ≥ ktDg(x)k. Nach Aufgabe 5(b) von Blatt 3 ist auch Dft(x) invertierbar.
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