Ebert PD Dr

Prof. Dr. J. Ebert PD Dr. T. Timmermann

Ubung zur Analysis 3¨ Blatt 3

Zusatzaufgabe 5. Sei ν: P(R^d) → [0,∞] definiert wie in Aufgabe 2 und µ das Lebesgue-Maß aufR^d. Zeigen Sie:

(a) F¨ur jede endliche Menge disjunkter W¨urfelW1, . . . , Wn⊆R^d gilt ν(W₁∪ · · · ∪W_n) =ν(W₁) +· · ·+ν(W_n).

(b) F¨ur jede beschr¨ankte offene Menge U ⊆R^d giltµ(U)≤ν(U).

(c) Es gibt eine Lebesgue-Nullmenge A⊆[0,1]^d mitν(A) = 1.

L¨osung: (a) Sei W = S

iWi. Dann ist IN(W) = S

iIN(Wi) und somit ]IN(W) = P

i]I_N(W_i) und mit der Konvergenzaussage in 2(b) folgt, dass ]I_N(W)/N^d gegen die SummeP

iν(W_i) konvergiert.

(b) Nach Vorlesung gibt es eine Folge fast-disjunkter W¨urfel W_n mit U = S∞ n=1W_n. F¨ur alle n∈Nfolgt (man ¨uberlege sich, dass (a) angewendet werden darf)

ν(U)≥ν(W₁∪ · · · ∪W_n) =

n

X

i=1

ν(W_i) =

n

X

i=1

µ(W_i)−−−→^n→∞ µ(U).

(c) Man betrachteA:= ([0,1]∩Q)^d. Als abz¨ahlbare Menge istAeine Nullmenge, aber offenbar ist IN(A) ={0, . . . , N}^dund somit ν(A) = 1.

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