PD Dr. T. Timmermann timmermt@uni-muenster.de
Gew¨ohnliche Differenzialgleichungen Ubungsblatt 5¨
Zur Abgabe bis Freitag, den 18. November, vor der Vorlesung
Aufgabe 1. (Eine Bernoulli-DGL) L¨osen Sie das Anfangswertproblem
y0(t) + y(t)
1 +t+ (1 +t)y(t)4 = 0 mit y(0) = 1.
Aufgabe 2. (Eine Picard-Lindel¨of-Iteration)
Wir wenden die Picard-Lindel¨of-Iteration auf das Anfangswertproblem y0(t) =λy(t) mity(0) = 1
und die Startfunktion y1(t)≡1 an und erhalten Funktionen y2, y3, . . . mit
yn+1(t) = 1 + Z t
0
λyn(s)ds.
(a) Berechnen Sie y2 und y3.
(b) Erraten Sie eine Formel f¨urynund beweisen Sie diese mit vollst¨andiger Induktion.
(c) Zeigen Sie mit Hilfe der Formel aus (b), dassynpunktweise gegen die L¨osung des Anfangswertproblems konvergiert.
Aufgabe 3. (Newton-Verfahren zur Nullstellenbestimmung)
Sei f:R→R zweimal stetig differenzierbar undx0 ∈R eine einfache Nullstelle vonf (d.h.f(x0) = 0 undf0(x0)6= 0). SeiJ :={x∈R:f0(x)6= 0}.
(a) Berechnen Sie die Ableitung der Abbildung N:J →R, definiert durch
N(x) =x− f(x) f0(x).
(b) Zeigen Sie, dass es ein β >0 gibt, sodass f0(x)6= 0 f¨ur alle x∈[x0−β, x0+β].
(c) Zeigen Sie, dass es einγ ∈(0, β) gibt, sodass|N0(x)| ≤ 12f¨ur allex∈[x0−γ, x0+γ].
(d) Sei I = [x0−γ, x0+γ] wie in (b). Zeigen Sie, dass N(x)∈I f¨ur jedes x∈I und limn→∞Nn(x) =x0 jedesx∈I.
Aufgabe 4. (Das Heron-Verfahren)
(a) Sei a >0 gegeben. Bestimmen Sie f¨ur die Funktionf(x) =x2−adie zugeh¨orige Abbildung N aus Aufgabe 3(a).
(b) Zeigen Sie, dassN(x)−√
a= 12 √
x−pa
x
2
≥0 f¨ur allex∈(0,∞).
(c) Zeigen Sie, dass f¨urx >√
astets N(x)−√
a≤ 12(x−√ a) gilt.
(d) Folgern Sie, dass f¨uralle x∈(0,∞) die Folge (Nn(x))n gegen√
akonvergiert.
1
