Gew¨ohnliche Differenzialgleichungen

Gew¨ohnliche Differenzialgleichungen

Martin Brokate ^∗∗

Inhaltsverzeichnis

1 Lineare autonome Systeme 2

2 Der Satz von Picard-Lindel¨of 13

3 Das Lemma von Gronwall 19

4 Lineare zeitvariante Systeme 22

5 Abh¨angigkeit der L¨osung von den Anfangswerten 26

6 Stabilit¨at 34

7 Der Begradigungssatz 43

∗Vorlesungsskript, SS 2018

∗∗Zentrum Mathematik, TU M¨unchen

1 Lineare autonome Systeme

Ein einf¨uhrendes Beispiel.Wir betrachten die Funktion x, definiert durch

x(t) =ce^at, t, a, c∈R. (1.1)

F¨ur deren Ableitung gilt ˙x(t) = ce^at ·a. Die durch (1.1) definierte Funktion erf¨ullt also die Gleichung

˙

x(t) = ax(t), f¨ur allet ∈R. (1.2) Wir schreiben sie k¨urzer als

˙

x=ax . (1.3)

Eine solche Gleichung heißt Differenzialgleichung. Sie verkn¨upft Funktionswerte und Ableitungen einer unbekannten Funktion. Genauer bezeichnet man sie als gew¨ohnliche Differenzialgleichung: Das Argument t ist eindimensional (es treten daher “gew¨ohn- liche” und keine partiellen Ableitungen auf), und Funktionswert und Ableitung werden an jeweils derselben Stelle t in Beziehung zueinander gesetzt (in Kontrast etwa zu der Differenzialgleichung, die durch ˙x(t) = ax(t−h) mit h >0 definiert wird).

Eine differenzierbare Funktion x : R → R, welche (1.2) erf¨ullt, heißt L¨osung von (1.2) auf R. Ist a ∈ R gegeben, so ist jede Funktion der Form (1.1) mit frei w¨ahlbarem c ∈R eine L¨osung. Geben wir zus¨atzlich x0 ∈Rvor und verlangen

x(0) =x0, (1.4)

so ist cdurch die Bedingung x0 =ce⁰ =ceindeutig festgelegt. Fasst man (1.3) und (1.4) zusammen, so erh¨alt man dasAnfangswertproblem

˙

x=ax , x(0) =x₀. (1.5)

Gibt es außer Funktionen der Form (1.1) noch weitere L¨osungen? Sei y : R → R eine beliebige L¨osung. Es gilt

d

dt e^−aty(t)

=−ae^−aty(t) +e^−aty(t) =˙ e^−at( ˙y(t)−ay(t)) = 0

f¨ur alle t, also e^−aty(t) = c f¨ur ein c ∈ R und damit y(t) = ce^at. Die Antwort ist also

“nein”.

Bei Differenzialgleichungen interessiert man sich auch f¨ur das “asymptotische Verhalten”.

Im obigen Beispiel h¨angt das Verhalten der L¨osung f¨urt → ∞vom Vorzeichen von a ab.

Ist a= 0, so ist die L¨osung konstant. Ist a >0, so gilt |x(t)| → ∞ f¨ur t→ ∞; ist a <0, so gilt x(t)→0 f¨ur t→ ∞.

Systeme von Differenzialgleichungen. Sie haben die Form

˙

x=f(t, x), t∈R, x∈Rⁿ, (1.6) mit derrechten Seitef. Sie bestehen ausneinzelnen Differenzialgleichungen ˙x_i =f_i(t, x) f¨ur die Komponenten x_i von x. Diese sind verkoppelt, da f_i im allgemeinen von allen Komponenten x_j (nicht nur von x_i) abh¨angt. Das System heißt autonom, falls f nicht von t abh¨angt,

˙

x=f(x). (1.7)

Die L¨osungen sind Kurven t 7→ x(t). Der Raum, in dem die L¨osungskurven verlaufen, heißt Zustandsraum oder Phasenraum. Das System (1.6) hat als Zustandsraum den Rⁿ.

Lineare Systeme.Man spricht von einem linearen System, wenn die rechte Seitef linear von x abh¨angt. Ein lineares System hat die Form

˙

x=A(t)x , (1.8)

wobei A(t) eine n×n Matrix ist. F¨ur lineare Systeme gilt dasSuperpositionsprinzip:

Sind die Funktionen x¹, . . . , x^k L¨osungen von (1.8), so ist auch jede Linearkombination Pk

j=1c_jx^j L¨osung. Es gilt n¨amlich d

dt X^k

j=1

c_jx^j (t) =

k

X

j=1

c_jx˙^j(t) =

k

X

j=1

c_jA(t)x^j(t) =A(t)X^k

j=1

c_jx^j(t) .

Lineare autonome Systeme.Sie haben die Form

˙

x=Ax , A∈R^(n,n). (1.9)

SeiA Diagonalmatrix,A= diag (λ1, . . . , λn). Dann zerf¨allt das System (1.9) inn einzelne Gleichungen

˙

x_i =λ_ix_i, 1≤i≤n , mit den L¨osungen

x_i(t) =c_ie^λit, c_i ∈R.

Sei A ∈ R^(n,n) mit Eigenwert λ ∈ R und Eigenvektor v ∈ Rⁿ, also Av = λv. Dann ist x(t) =e^λtv eine L¨osung von (1.9), da

˙

x(t) = λe^λtv =e^λtAv=Ax(t).

Sei A ∈R^(n,n) mit Eigenwerten λ₁, . . . , λ_n ∈R und Eigenvektoren v₁, . . . , v_n ∈Rⁿ. Dann ist jede Linearkombination

x(t) =

n

X

j=1

c_je^λjtv_j (1.10)

L¨osung von (1.9), gem¨aß dem Superpositionsprinzip. Ist V = (v₁| . . . |v_n) ∈ R^(n,n) die Matrix mit den Spalten v₁, . . . , v_n, so k¨onnen wir die Vektorgleichungen Av_j = λ_jv_j zu einer Matrixgleichung AV = V D zusammenfassen mit D = diag (λ₁, . . . , λ_n). Sind die Eigenvektorenv₁, . . . , v_n∈Rⁿ linear unabh¨angig, so istV invertierbar, und es folgt

V⁻¹AV =D , D= diag (λ₁, . . . , λ_n), V, D∈R^(n,n). (1.11) Wir werden sp¨ater sehen, dass es außer den L¨osungen (1.10) keine anderen L¨osungen gibt.

Damit ist der Fall “A reell diagonalisierbar” hinsichtlich der Struktur der L¨osungen “im Prinzip” gekl¨art.

Das Phasenportr¨at. Im Fall n = 2 k¨onnen wir uns die L¨osungen eines Systems von Differenzialgleichungen veranschaulichen, indem wir L¨osungskurven x(t) = (x₁(t), x₂(t)) in der Zustandsebene (Phasenebene) graphisch darstellen. Eine solche Darstellung heißt

Phasenportr¨at oderPhasendiagramm. Wir betrachten Beispiele im linearen autono- men Fall, alsoA= diag (λ₁, λ₂).

−2 0 0 −1

,

−1 0 0 −1

,

2 0 0 1

,

−1 0 0 1

. (Phasenportr¨ats an der Tafel)

Komplexe Eigenwerte.Eine reelle Matrix kann komplexe Eigenwerte haben. Beispiels- weise hat die Matrix

A=

α −ω

ω α

, α, ω∈R,

die konjugiert komplexen Eigenwerteλ=α+iωundλ=α−iω. F¨ur die Zustandsvariable x= (x₁, x₂) betrachten wir das System

˙ x=

α −ω

ω α

x . (1.12)

Wir interpretieren den Zustand x als komplexe Zahl z = x₁+ix₂. Anstelle des Systems (1.12) im R² betrachten wir eine einzelne Differenzialgleichung inC,

˙

z =λz , mit λ =α+iω, (1.13)

wobei wir die Multiplikation auf der rechten Seite als Multiplikation in C verstehen. Es gilt dann

˙

x₁+ix˙₂ = ˙z =λz = (α+iω)(x₁+ix₂) = (αx₁−ωx₂) +i(ωx₁+αx₂). (1.14) Real- und Imagin¨arteil dieser Gleichung entsprechen gerade den beiden Komponenten der Gleichung (1.12). Eine L¨osung von (1.13) ist

z(t) = e^λt, (1.15)

wie man durch Differenzieren der Potenzreihenentwicklung e^λt=

∞

X

k=0

λ^k k!t^k erkennt. Aus (1.15) erhalten wir

z(t) =e^λt =e^(α+iω)t=e^αte^iωt. (1.16) Der Faktor e^iωt beschreibt eine Drehung mit konstanter Winkelgeschwindigkeit und Fre- quenzω/2π (= Anzahl der Kreisdurchl¨aufe pro Zeiteinheit). Multipliziert mit dem Faktor e^αtergibt sich eine spiralf¨ormige Bewegung (f¨urt→ ∞gegen Null oder ins Unendliche, je nach Vorzeichen vonα), und eine Kreisbewegung f¨urα = 0. In kartesischen Koordinaten erhalten wir

z(t) =

x₁(t) x₂(t)

=e^αt

cos(ωt) sin(ωt)

. (1.17)

Im Fall α= 0 wird das System (1.12) zu

˙

x₁ =−ωx₂, x˙₂ =ωx₁.

Beide Komponentenx₁ und x₂ sind L¨osungen der Differenzialgleichung zweiter Ordnung f¨ur eine reelle Variable y,

¨

y+ω²y= 0. (1.18)

Diese Gleichung beschreibt den sogenannten harmonischen Oszillator. Matrizen mit komplexen Eigenwerten sind somit ein grundlegendes Hilfsmittel zur Beschreibung von Schwingungsvorg¨angen.

Allgemeiner L¨osungsansatz. Ziel ist es, die Formel x(t) = e^atx₀ f¨ur das skalare An- fangswertproblem ˙x=ax, x(0) =x₀, auf Systeme ˙x=Ax zu verallgemeinern, so dass

x(t) = e^tAx₀ (1.19)

eine L¨osung wird. Zu diesem Zweck wollen wir in der Exponentialfunktion als Argumente Matrizen (statt Zahlen) zulassen. Die naheliegende Definition ist

e^A =

∞

X

k=0

A^k k! . Reihen im normierten Raum.

Definition 1.1

Sei (X,k · k)normierter Raum ¨uber K (steht f¨ur R oderC), sei (x_k)_k≥0 Folge in X. Falls die Folge der Partialsummen

s_n=

n

X

k=0

x_k (1.20)

gegen eins∈X konvergiert, so sagen wir, dass die zugeh¨orige Reihe P∞

k=0x_kkonvergiert, und definieren

∞

X

k=0

x_k =s . (1.21)

Die Reihe P∞

k=0x_k heißt absolut konvergent, falls

∞

X

k=0

kxkk<∞. (1.22)

2 Aus der Stetigkeit der Addition und Skalarmultiplikation im normierten Raum folgen die Rechenregeln

∞

X

k=0

(x_k+y_k) =

∞

X

k=0

x_k+

∞

X

k=0

y_k,

∞

X

k=0

λx_k=λ

∞

X

k=0

x_k, (1.23)

λ∈K, die jeweils g¨ultig sind, wenn die Grenzwerte auf der rechten Seite existieren.

Satz 1.2 Sei (X,k · k) Banachraum. Ist die ReiheP∞

k=0xk absolut konvergent, so ist sie auch konvergent, und es gilt

∞

X

k=0

xk

≤

∞

X

k=0

kxkk. (1.24)

Beweis:Sei

σ_n=

n

X

k=0

kx_kk,

dann gilt f¨ur die in (1.20) definierten Partialsummen f¨ur n > m ks_n−s_mk=

n

X

k=m+1

x_k

=|σ_n−σ_m|.≤

n

X

k=m+1

kx_kk=|σ_n−σ_m|.

Da (σ_n) Cauchyfolge in R ist, ist (s_n) Cauchyfolge in X, also konvergent. Wegenks_nk ≤

|σ_n| folgt (1.24) aus

ksk= lim

n→∞ks_nk ≤ lim

n→∞|σ_n|=

∞

X

k=0

kx_kk,

wobei die Stetigkeit der Norm verwendet wurde. 2

Matrixnormen. Wir betrachten Normen auf dem Matrizenraum K^(n,n), die durch eine Norm auf Kⁿ erzeugt werden.

Definition 1.3

Sei k · k eine Norm auf Kⁿ. F¨ur A∈K^(n,n) definieren wir kAk= sup

x∈Kn kxk=1

kAxk. (1.25)

2

Unmittelbar aus der Definition folgt

kAk= sup

x6=0

kAxk

kxk , (1.26)

sowie

kIk= 1.

Der Rand {kxk = 1} der Einheitskugel im Kⁿ ist kompakt. Daher wird in (1.25) das Maximum angenommen,

kAk= max

x∈Kn kxk=1

kAxk. (1.27)

Lemma 1.4 Durch (1.25) wird eine Norm auf K^(n,n) definiert. Sie heißt die von der gegebenen Vektornorm auf Kⁿ erzeugte Operatornorm oder Matrixnorm.

Beweis:Folgt direkt aus den Definitionen. 2

Wir formulieren einige allgemeine Eigenschaften von Matrixnormen.

Lemma 1.5 Sei (k · k) Norm auf Kⁿ. F¨ur die zugeh¨orige Matrixnorm gilt

kAxk ≤ kAkkxk, (1.28)

kABk ≤ kAkkBk, (1.29)

f¨ur alle A, B ∈K^(n,n), x∈Kⁿ. Beweis:F¨urx6= 0 gilt

kAxk=

A x

kxk

kxk ≤ kAkkxk, kABxk ≤ kAkkBxk ≤ kAkkBkkxk, also

sup

kxk=1

kABxk ≤ kAkkBk.

2 Satz 1.6 Sei

f(z) =

∞

X

k=0

ckz^k

Potenzreihe in C mit Konvergenzradius r. Dann ist die Matrixreihe f(A) =

∞

X

k=0

c_kA^k (1.30)

absolut konvergent f¨ur alle A∈K^(n,n) mit kAk< r.

Hierbei istk·keine beliebige Matrixnorm, das heißt, eine Matrixnorm, die von irgendeiner Vektornorm erzeugt wird.

Beweis:Gem¨aß Lemma 1.5 gilt

kc_kA^kk ≤ |c_k|kAk^k, f¨ur allek ∈N. Ist kAk< r, so gilt

∞

X

k=0

kc_kA^kk ≤

∞

X

k=0

|c_k|kAk^k <∞.

2 Die Matrixexponentialfunktion. Gem¨aß Satz 1.6 l¨asst sich

e^A =

∞

X

k=0

A^k

k! (1.31)

f¨ur beliebige quadratische Matrizen A∈K^(n,n) definieren. Unmittelbar aus der Definition folgen

e⁰ =I (1.32)

und

e^tA =

∞

X

k=0

t^kA^k

k! , t∈R. (1.33)

Die Funktion t7→e^tA ist also auf ganzR in eine Potenzreihe um t= 0 entwickelbar.

Lemma 1.7 F¨ur A∈K^(n,n) gilt d

dte^tA =Ae^tA =e^tAA . (1.34)

Beweis:Aus (1.33) folgt d

dte^tA = d dt

X^∞

k=0

t^kA^k k!

=

∞

X

k=1

t^k−1 A^k

(k−1)! =A

∞

X

k=0

t^kA^k

k! =X^∞

k=0

t^kA^k k!

A ,

da Rechts- und Linksmultiplikation mit A eine stetige Operation ist und daher mit dem

Grenzwert vertauscht werden kann. 2

Lemma 1.8 Seien A, B ∈K^(n,n) mit AB =BA. Dann gilt

e^A+B =e^A·e^B. (1.35)

Beweis:Wie im skalaren Fall (siehe Analysis 1) beweist man die Formel f¨ur das Cauchy- Produkt von Reihen und erh¨alt

e^A·e^B =X^∞

k=0

A^k k!

·X^∞

j=0

B^j j!

=

∞

X

m=0 m

X

k=0

A^k k!

B^m−k

(m−k)!. (1.36) WegenAB =BA gilt die binomische Formel

m

X

k=0

m!

k!(m−k)!A^kB^m−k = (A+B)^m. (1.37) Aus (1.36) und (1.37) folgt

e^A·e^B =

∞

X

m=0

(A+B)^m

m! =e^A+B.

2 L¨osung des Anfangswertproblems. Wir betrachten das Anfangswertproblem

˙

x=Ax , x(0) =x₀. (1.38)

Unter einer L¨osung von (1.38) verstehen wir eine differenzierbare Funktion x :R → Kⁿ, welche ˙x(t) =Ax(t) f¨ur alle t∈R sowiex(0) =x₀ erf¨ullt.

Satz 1.9 (Eindeutige L¨osung des Anfangswertproblems)

F¨ur jedes A ∈ K^(n,n) und x₀ ∈ Kⁿ hat das Anfangswertproblem (1.38) die eindeutige L¨osung

x(t) = e^tAx₀. (1.39)

Beweis:Dass die Funktion x eine L¨osung ist, folgt unmittelbar aus (1.34) und aus x(0) =e⁰x₀ =Ix₀ =x₀.

Zum Beweis der Eindeutigkeit betrachten wir eine beliebige L¨osung y : R → K^(n,n). Mit Lemma 1.7, der Produktregel und der Kettenregel erhalten wir f¨ur alle t∈R

d

dt e^−tAy(t)

=−e^−tAAy(t) +e^−tAy(t) =˙ e^−tA( ˙y(t)−Ay(t)) = 0. Es folgt

e^−tAy(t) = c∈Kⁿ.

Wir setzent= 0 und erhalten c=y(0) =x₀. Linksmultiplikation mit e^tA ergibt e^tAx₀ =e^tAe^−tAy(t) = e⁰y(t) = y(t),

wobei wir Lemma 1.8 verwendet haben. 2

Satz 1.10 (L¨osungsraum des linearen Systems)

Sei A∈ K^(n,n). Die Menge L der L¨osungen des linearen Systems x˙ =Ax ist ein Vektor- raum der Dimension n ¨uber K. Die Spalten der Matrix e^tA bilden eine Basis von L.

Beweis:Wir definieren eine Abbildung Φ :Kⁿ→Abb (R;Kⁿ) durch (Φη)(t) =e^tAη .

Gem¨aß Superpositionsprinzip istLein Unterraum von Abb (R;Kⁿ). Nach Satz 1.9 ist die Abbildung Φ :Kⁿ→L bijektiv. Sie ist linear, und es gilt f¨ur Bild und Kern

Im (Φ) =L , ker(Φ) ={0}.

Da sich die Dimensionen von Bild und Kern zur Dimension des Urbildraums addieren, folgt dim(L) = dim(Kⁿ) = n. Die Spalten von e^tA sind gerade die Bilder Φ(e_i) der Einheitsvektorene_i ∈Kⁿ. Da Φ bijektiv ist, bilden sie eine Basis von L. 2 Form der L¨osungen. Wir behandeln nun die Frage, wie e^tA f¨ur eine beliebige Matrix A∈K^(n,n) aussieht.

Lemma 1.11 Sei A = diag (λ₁, . . . , λ_n). Dann gilt

e^tA = diag (e^λ1t, . . . , e^λnt). (1.40) Beweis:Einsetzen von (tA)^k= diag ((λ₁t)^k, . . . ,(λ_nt)^k) in die Reihenentwicklung vone^tA. 2

Definition 1.12 Eine MatrixA∈K^(n,n) heißtnilpotent, fallsAⁿ = 0gilt f¨ur einn ∈N.

Ist Aⁿ= 0, so gilt

e^tA =

n−1

X

k=0

t^kA^k

k! . (1.41)

Beispiel:

A=





0 1 0 0 0 1 0 0 0



 , A² =





0 0 1 0 0 0 0 0 0



 , A³ = 0. (1.42)

Es ist

e^tA =I+tA+t²A² 2 =





1 t ¹₂t² 0 1 t

0 0 1



. (1.43)

Lemma 1.13 Seien A, V ∈K^(n,n), sei V invertierbar. Dann gilt

e^tV−1AV =V⁻¹e^tAV , t∈R. (1.44) Beweis:Es ist

m

X

k=0

t^k(V⁻¹AV)^k

k! =

m

X

k=0

t^kV⁻¹A^kV

k! =V⁻¹

m

X

k=0

t^kA^k k!

! V .

Grenz¨ubergangm → ∞liefert die Behauptung. 2

Wir f¨uhren die Bestimmung von e^tA f¨ur eine allgemeine Matrix A ∈ K^(n,n) durch Ba- siswechsel und Zerlegung auf die beiden schon behandelten F¨alle (diagonal, nilpotent) zur¨uck. In der Linearen Algebra wird zu einer beliebigen Matrix A∈C^(n,n) durch Basis- wechsel deren Jordansche Normalform D konstruiert. D hat die Blockdiagonalform

D=











D₁ 0 · · · 0 0 D2 0 ... ... . .. ... 0 · · · 0 D_k











, (1.45)

wobei

D_j =

















λ_j 1 0 · · · 0 0 λj 1 ... ... . .. ... ...

... λ_j 1

0 0 λj

















∈C^nj×nj. (1.46)

Hierbei sind λ_j ∈ C die Eigenwerte von A (diese m¨ussen nicht voneinander verschieden sein), und es gilt

k

X

j=1

n_j =n .

Wird der Basiswechsel durch die invertierbare Matrix V ∈C^(n,n) beschrieben, so ist

A =V⁻¹DV . (1.47)

Nach Lemma 1.13 gilt dann

e^tA =V⁻¹e^tDV . (1.48)

Aus der Blockdiagonalform von D,

D= diag (D₁, . . . , D_k) folgt wie in Lemma 1.11

e^tD = diag (e^tD1, . . . , e^tDk). (1.49) Gem¨aß (1.46) ist

D_j =λ_jI +N_j, N_j =

















0 1 0 · · · 0

0 0 1 ...

... . .. ... ...

... 0 1

0 0 0

















∈C^nj×nj, (1.50)

und daher

e^tDj =e^t(λjI+Nj) =e^λjtIe^tNj =e^λjte^tNj. (1.51) Es ist

N_j^µ = (δ_i,k−µ)_1≤i,k≤nj, 0≤µ≤n_j −1, (1.52) (Kronecker-Delta), undN_j^µ = 0 f¨ur µ≥n_j. (Induktionsbeweis: µ= 1 klar, µ→µ+ 1:

(N_j^µ+1)_il = (N_j^µN_j)_il =X

k

δi,k−µδk,l−1 =δi,l−(µ+1). Es folgt

e^tNj =

nj−1

X

µ=0

t^µ µ!N_j^µ =



















1 t ^t₂² · · · _(n^tnj−1

j−1)!

0 1 . .. ...

. .. ... ...

. .. t

0 1



















(1.53)

Zusammen mit den Formeln

e^tA =V⁻¹e^tDV , e^tD = diag (e^tD1, . . . , e^tDk), e^tDj =e^λjte^tNj. (1.54) ist damit das Problem der Berechnung von e^tA zur¨uckgef¨uhrt worden auf das Problem der Linearen Algebra, die Jordansche Normalform von A zu bestimmen. Dazu muß man die Eigenwerte λ_j von A und die zugeh¨origen Eigenvektoren bzw. verallgemeinerten Ei- genvektoren (welche die Spalten von V bilden) berechnen. F¨ur eine allgemeine Matrix A wollen wir das nicht weiter verfolgen (siehe etwa das Lehrbuch von Walter), sondern uns

darauf beschr¨anken, uns die Struktur der L¨osungen klar zu machen. Aus (1.53) und (1.54) folgt, dass alle L¨osungen von ˙x=Ax,

x(t) =





 x₁(t)

... xn(t)







aus Komponentenfunktionen x_i bestehen, welche Linearkombinationen von Funktionen der Form

t^le^λt

sind. Hierbei ist λ Eigenwert von A, und der m¨ogliche Wertebereich der Exponenten l h¨angt von der Gr¨oße der zugeh¨origen Jordan-K¨astchen D_j ab. Ist A diagonalisierbar, so treten keine Exponenten l >0 auf, und die L¨osungen haben die Form

x(t) = X

λ∈σ(A)

vλe^λt, vλ =





 v_λ,1

... v_λ,n





∈Cⁿ,

wobeiσ(A) die Menge der Eigenwerte vonA bezeichnet und die Koeffizientenvektorenvλ

durch die Eigenvektoren von A und die Anfangsbedingung x₀ festgelegt sind.

F¨urA ∈R^(n,n) und Anfangswertex0 ∈Rⁿ sind die L¨osungen x(t) =e^tAx0 reell. Die eben beschriebene Vorgehensweise liefert auch nichtreelle komplexe L¨osungen, fallsAnichtreelle Eigenwerteλhat. Die nichtreellen Eigenwerte treten aber in komplex konjugierten Paaren (λ, λ) auf; die entsprechenden Jordank¨astchen haben die gleiche Gr¨oße. Es ergeben sich Paare reeller L¨osungen mit Zeitanteilen der Formt^le^atcos(ωt) undt^le^atsin(ωt). Wir stellen das nicht im Einzelnen dar.

2 Der Satz von Picard-Lindel¨ of

Wir betrachten ein System gew¨ohnlicher Differentialgleichungen erster Ordnung,

˙

x=f(t, x), (2.1)

sowie das zugeh¨orige Anfangswertproblem

˙

x=f(t, x), x(t₀) =x₀. (2.2) Die Funktionf bezeichnet man als dierechte Seiteder Differenzialgleichung, den Vektor x₀ alsAnfangswert zum Zeitpunktt₀.

Definition 2.1 (L¨osung eines Systems erster Ordnung)

Sei I ⊂ R Intervall, D ⊂ R × Rⁿ offen, f : D → Rⁿ. Eine Funktion x : I → Rⁿ heißt L¨osung von (2.1) in I, falls x in I differenzierbar ist und f¨ur alle t ∈ I gilt, dass (t, x(t))∈D und

˙

x(t) = f(t, x(t)) (2.3)

Falls außerdem (t₀, x₀)∈D gegeben ist mit t₀ ∈I und x(t₀) =x₀, so heißt x L¨osung des

Anfangswertproblems (2.2) in I. 2

Wir sind interessiert an reellwertigen L¨osungen. Wir haben bereits gesehen, dass es im Falle linearer Systeme sinnvoll ist, sich auch mit komplexwertigen L¨osungen zu befassen, auch wenn man nur an reellwertigen L¨osungen interessiert ist. Wir verzichten aber im Folgenden darauf, Rⁿ durch Kⁿ zu ersetzen, obwohl das oft problemlos m¨oglich ist.

H¨angt f nicht von x ab, so ist

x(t) = x0+ Z t

t0

f(s)ds

eine L¨osung des Anfangswertproblems (2.2), falls f stetig ist (Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung).

Lemma 2.2 Sei D⊂R×Rⁿ offen, f :D→Rⁿ stetig. Sei I Intervall in R und x:I → Rⁿ stetig, sei t₀ ∈ I und (t₀, x₀)∈ D. Dann ist x eine L¨osung des Anfangswertproblems (2.2) auf I genau dann, wenn gilt (t, x(t))∈D f¨ur alle t∈I und

x(t) =x0+ Z t

t0

f(s, x(s))ds , f¨ur alle t ∈I. (2.4) Ist außerdem f ∈C^k(D) so ist x∈C^k+1(I).

Beweis:Ist x L¨osung des AWP, so ist ˙x : I → Rⁿ stetig, da f stetig ist. Aus dem Hauptsatz folgt

x(t)−x(t₀) = Z t

t0

˙

x(s)ds= Z t

t0

f(s, x(s))ds .

Gilt umgekehrt (2.4), so folgt zun¨achstx(t₀) = x₀. Da der Integrand auf der rechten Seite von (2.4) stetig ist als Funktion von s, ist nach dem Hauptsatz x differenzierbar in I,