Zeigen Sie, dass die Funktion g:Rn→R, x7→ 1 2hAx, xi+hx, vi+b genau einen kritischen Punkt x0 ∈Rn hat dort ihr globales Minimum annimmt

Prof. Dr. J. Ebert PD Dr. T. Timmermann

Ubung zur Analysis 2¨ Blatt 8

Abgabe bis Fr, 12.06., 12 Uhr Aufgabe 1 zur Bearbeitung in der ¨Ubung Aufgaben 2-5 zur selbst¨andigen Bearbeitung

Aufgabe 1 Bestimmen Sie die kritischen Punkte der Funktion f:R² →R, (x, y)7→6xy−3y²−2x³,

und pr¨ufen Sie, an welchen dieser Punkte die Funktion ein lokales Extremum annimmt.

Aufgabe 2 (a) Sei A ∈Matn(R) symmetrisch und positiv definit und seien v ∈ Rⁿ und b∈R. Zeigen Sie, dass die Funktion

g:Rⁿ→R, x7→ 1

2hAx, xi+hx, vi+b

genau einen kritischen Punkt x0 ∈Rⁿ hat dort ihr globales Minimum annimmt.

(Hinweis: Betrachten Sie g(x0+y)−g(x0) f¨ury∈Rⁿ.) (b) SeiA=

a b

b d

∈Mat2(R) und detA >0. Beweisen Sie folgende Aussage:

Im Falla >0 istA positiv definit und im Falla <0 ist A negativ definit.

(Hinweis: Berechnen Sie hA(λv+µw), λv+µwi f¨urv=

1

0

undw=

−b

a

.)

Aufgabe 3 Zeigen Sie, dass die Funktionh:R² →R, definiert durch

h(x, y) =h1(x, y)·h2(x, y) mit h1(x, y) = (y−x²) undh2(x, y) = (y−3x²) (a) den Ursprung (0,0) als kritischen Punkt hat,

(b) entlang jeder Geraden durch den Ursprung genau im Ursprung ein lokales Mini- mum annimmt, dass also f¨ur alle (x, y) ∈R² mit (x, y) 6= 0 die Funktiong(t) :=

h(tx, ty) in t= 0 ein lokales Minimum besitzt;

(c) im Ursprung (0,0) aber kein lokales Minimum besitzt.

(Hinweis: Wo sind die Funktionswerte von h₁ und h₂ positiv/negativ?)

Aufgabe 4 Der (orientierte) Fl¨acheninhalt eines dem Einheitskreis einbeschriebenen Dreieck mit den Ecken (−1,0), (cosα,sinα) und (cosβ,sinβ) ist gegeben durch

A(α, β) = 1 2det

cosα+ 1 sinα cosβ+ 1 sinβ

.

Bestimmen Sie die lokalen Extrema vonA in (−π, π)×(−π, π).

Zusatzaufgabe 5 Seif:Rⁿ→Rzweimal stetig differenzierbar und die Hesse-Matrix Hf uniform positiv definit in dem Sinn, dass

∃η >0∀x, v∈Rⁿ:hHf(x)v, vi ≥ηkvk²₂.

Zeigen Sie, dass die Funktion f genau einen kritischen Punkt besitzt und dort ihr globales Minimum annimmt.

(Hinweis: Verwenden Sie die Taylorformel und Zusatzaufgabe 5 von Blatt 7.)

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