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PD Dr. T. Timmermann timmermt@uni-muenster.de

Grundlagen der Analysis, Topologie und Geometrie Ubungsblatt 3¨

Abgabe bis Fr, 29.04., 12 Uhr

Aufgabe 1. (a) Folgern Sie aus der Charakterisierung von Stetigkeit mittels Netzen:

Zwei Topologien τ und τ⁰ auf einer Menge Z sind genau dann gleich, wenn f¨ur jedes Netz (z_λ)_λ und jeden Punkt z inZ gilt:

z_λ→z bzgl.τ ⇔ z_λ →z bzgl.τ⁰.

(b) Folgern Sie aus (a) und Satz 3.5 (3): Sind X und Y topologische R¨aume, deren Topologien von Metriken dX bzw. dY erzeugt wird, so wird auch die Produkt- Topologie aufX×Y von einer Metrik erzeugt.

Aufgabe 2. SeiX das Produkt topologischer R¨aume (Xi)i. Zeigen Sie, dass f¨ur jedes idie kanonische Projektion pi:X→Xi offene Mengen auf offene Mengen abbildet.

Aufgabe 3. SeiX das Produkt topologischer R¨aume (X_i)_i. Zeigen Sie, dassX genau dann Hausdorffsch ist, wenn Xi f¨ur jedesiHausdorffsch ist.

(Bemerkung: Die Implikation “⇒” erfordert das Auswahlaxiom.)

Aufgabe 4. Seik=R oder k=C. Wir betrachten denprojektiven Raum kPⁿ= (kⁿ⁺¹\ {0})/_∼ mit v∼w ⇔ ∃α∈k:αv=w.

Zeigen Sie:

(a) F¨ur jedesi= 1, . . . , n+ 1 ist

U_i:={[v] :v ∈kⁿ⁺¹ und v_i 6= 0} ⊆kPⁿ offen und es gilt U1∪ · · · ∪Un+1 =kPⁿ.

(b) F¨ur jedesi= 1, . . . , n+ 1 ist die Abbildung

ιi:kⁿ→Ui, v7→[(v1, . . . , vi−1,1, vi, . . . , vn)],

ein Hom¨oomorphismus. (Hinweis: Die Stetigkeit von Abbildungen zwischen Teil- mengen vonk^k und k^l k¨onnen Sie wie in der Analysis 2 behandeln, also ggf. auch als offensichtlich bezeichnen.)

Zusatzaufgabe 5. (Zariski-Topologie auf dem Spektrum eines kommutativen Ringes) Sei R ein kommutativer Ring mit Eins. Ein Ideal in R ist eine nicht-leere Teilmenge I ⊆R mit folgenden Eigenschaften:

(1)a, b∈I ⇒a+b∈I, (2) a∈I, r∈R⇒ar, ra∈I.

Ein Idealp(Rheißt Primideal, falls f¨ur allef, g∈Rausf 6∈pundg6∈pauch f g6∈p folgt. Bezeichne Spec(R) die Menge aller Primideale inR. Zeigen Sie:

(a) Alle Mengen der Form

U_J :={p∈Spec(R) :J 6⊆p} (J ⊆R ein Ideal) bilden eine Topologie auf Spec(R) (genannt die Zariski-Topologie.)

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(b) Alle Mengen der Form

Uf ={p∈Spec(R) :f 6∈p} (f ∈R) bilden eine Basis der Zariski-Topologie.

(c) IstS ein weiterer kommutativer Ring mit Eins und π:R→S ein Ringhomomor- phismus, so ist die Abbildung

π^∗: Spec(S)→Spec(R), p7→π⁻¹(p) stetig bez¨uglich der Zariski-Topologie.

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