Aufgabe 1 (Symmetrische Differenz). F¨ ur Mengen L und K ist L∆K = K \ L ∪ L \ K

Universit¨ at Siegen

Lehrstuhl Theoretische Informatik Markus Lohrey und Eric N¨ oth

Komplexit¨ atstheorie WS 2014/15

Ubungsblatt 8 ¨

Aufgabe 1 (Symmetrische Differenz). F¨ ur Mengen L und K ist L∆K = K \ L ∪ L \ K

die symmetrische Differenz der Mengen L und K . Zeigen Sie: Ist L ∈ C in ei- ner Komplexit¨ atsklasse C, welche unter Logspace-Reduktionen abgeschlossen ist, und die symmetrische Differenz zur Menge K endlich, so ist auch K ∈ C.

Aufgabe 2. Zeigen Sie, dass es zu jeder Sprache L ∈ P eine polynomielle Familie C = (C

)

von Schaltkreisen gibt mit L = L(C ) (Vorlesung Folie 186).

Aufgabe 3. Sei F (x

, . . . , x

, y

, . . . , y

) eine Boolesche Formel in 2n Va- riablen. Wir definieren den folgenden gerichteten Graphen G

= (V , E ):

• V = {0, 1}

• E = {(¯ a, ¯ b) | a, ¯ ¯ b ∈ {0, 1}

, F (¯ a, ¯ b) = 1}

1. Zeichnen Sie die Graphen G

und G

f¨ ur

F

(x

, x

, x

, x

) = (x

∨ ¬x

∨ ¬x

) ∧ (x

∨ ¬x

∨ x

) ∧ (¬x

∨ x

∨ ¬x

) F

(x

, x

, x

, x

) = (¬x

∨ ¬x

∨ x

) ∧ (x

∨ x

∨ ¬x

) ∧ (x

∨ x

∨ ¬x

).

2. Zeigen Sie, dass das folgende Problem PSPACE-vollst¨ andig ist:

Input Eine Boolesche Formel F (x

, . . . , x

, y

, . . . , y

) und ¯ s , ¯ t ∈ {0, 1}

. Frage Gibt es in G

einen Pfad von ¯ s nach ¯ t ?

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