K a pi te l 1

(1)

K a pi te l 1

Vo ra b

EinnotorischesProblemimLehramtsstudiumPhysikistdieMathematikausbildung,dieimVergleichzum1-FachstudiumPhysikmagerausf¨allt.Betro↵ensindinsbeson-dereLehramtsstudierende,diewederimHaupt-nochimNebenfach(Studienordnungvor2013)bzwalsanderesFach(Studienordnungab2013)Mathebelegthaben.Ih-nen–abernichtnurihnen–sollendie“MathematischeMethodenderPhysik”dasn

¨otigeHandwerkszeugvemittelnumimPhysikstudium

¨ub

erdieRundenzukom-men.

DieMathMethwerdeninPotsdam

¨ub

erzweiSemestergestreckt.ImWintersemesterwerdenimFormat2V1¨UdieVektorrechnung,komplexeZahlenundGrundlagenderreellenAnalysisbehandelt.ImSommersemesterfolgenimFormat2V1¨UdieVektor-felder,DivGradRotunddieIntegralstzevonGaussundStokes. 1DiePortionierung

1xVy¨Ustehtf

Unirum... semesterhat15Wochen.EntsprechendsitzenSieimForma2V1genau45SchulstundeninderÜ ür“xSemesterwochenstunden(SWS)VorlesungnebstySWSung”.DasNorm-Üb

cMartinWilkens1522.August2014

(2)

16Vorab

derInhaltefolgtderRegel“eineWoche–einThema–einKapitel(imSkript)”.

AußerdemkleinenEin-Mal-Einsundeinergeh

DieNotizenerhebenkeinerleiAnspruchaufOriginalit erinnert. hat–unddaskannjaschonmalpassieren–wirdindenerstenVorlesungenansie nerleiKompetenzenvorausgesetzt.WerdieRegelnderBruchrechnungvergessen ¨origenPortionDisziplinwerdenkei-

resMaterialzurVorlesungfindenSieimOrdner“Teaching”aufhttp://www.quantum.physik.uni-potsdam.de. vollständigundvollerunbeabsichtigterFehler.Aktualisierungenundweite- ät,sindvollständigun-

1 .1 P h y si k und M a the

PhysikundMathematiksindwieeinZwillingspaar.Daseineistohnedasanderenichts,undkeinerwarehrda. 2WarumallerdingseineempirischeDisziplin,derenletzterRichterimmerdasExperiment,undeinetheoretischeDisziplin,derenletzteInstanzimmerdieBeweisbarkeit(dasManipulierenvonAussagen),sowundersamverschr

¨ank

tsind,weißmannichtsorecht.“Warum”,fragtEugeneWignerineinembemerkenswertenAufsatzvon1960,“istdieMathematikinderPhysiksoe↵ektiv?”. 3

EineAntwortkannWignerauchnichtgeben.LesenswertistderAufsatzallemal.

GalileiGalileo,derVaterderexperimentellenNaturwissenschaften,hatsichwenig

2Ineinergl

Arnol’dseineFachkollegen,sieh¨attensichinderLehrevonderVerschr http://pauli.uni-muenster.de/munsteg/arnold.html)geißeltdergroßeMathematikerV.I. ¨anzendenPhilippikaOnteachingmathematics(1997,nachzulesenauf:

Mathematikunverh ¨ankungvonPhyskund

¨altnism

¨aßi

gweitentfernt.Insbesonderedieehermittelm

¨aßi

gbegabtenMa-thematikerw

¨urde

nnurnocheinemblutleerenG

CommunicationsinPureandAppliedMathematics,vol.13,No.I(Februar1960). EugeneWignerTheUnreasonableE↵ectivenessofMathematicsintheNaturalSciencesin:3 Mediokrizit¨atzuverbergen. ¨otzenderreinenAxiomatikhuldigenumihre

22.August201416cMartinWilkens

(3)

1.1PhysikundMathe17

umdas“Warum”geschert,sondernkurzundb

¨undig

konstatiert:

DasBuchderNaturkannmannurverstehen,wennmanvorherdieSpra-cheunddieBuchstabengelernthat,indenenesgeschriebenist.EsistinmathematischerSprachegeschrieben,unddieBuchstabensindDreiecke,KreiseundanderegeometrischeFiguren,undohnedieseHilfsmittelistesMenschenunm

¨oglich,auchnureinWortdavonzubegreifen.

DassollnunerstmalalsBegr¨undungreichen,warumSieausgerechnetMathestu-dierensollen,wosiedochPhysikstudierenwollen...

Abb1.1Euklids“Elemente”–dieSpra-chederMathematikzuGalileisZeit. HeutzutagesindallerdingsnichtgeometrischeFigurendie“BuchstabenderMathe-matik”,sondernZahlen,VektorenundMorphismen,undauchdieSprache–ehemalsArithmetikundGeometrie–istumAnalysisundLineareAlgebraerweitert.

Sokommtes,dassindenEinf

¨uhr

ungsvorlesungeneinesPhysikstudiumsohnevielFederlesensogleichvonFunktionen,AbleitungenundIntegralendieRedeist,somancheFunktionineinerTaylorreiheentwickeltoderineinerFourierreihedarge-stelltwird,kurzmalebenDi↵erentialgleichungenintegriertundVektorenindereinenoderanderenArtmutlipliziertwerden.IndenerstenVorlesungenzurExperimentalphysik,beispielsweise,kommenausderAnalysiszumEinsatz

•DiequadratischeFunktionf(x)=ax 2+bx+c,nebstderFormelf¨urihreNullstellen

x1,2= b± pb24ac2a (1.1)

•KomplexeZahlenmitderimagin

¨arenEinheiti,definierti=1. 2

(4)

18Vorab

•DieExponentialfunktione xunddieTrigonometrischenFunktionensin(x),cos(x),ihrecharakteristischenMerkmale,insbesonderee axe bx=e (a+b)x,sin 2(x)+cos 2(x)=1,nebstihrerjeweiligenAbleitungf 0(x):= ddx f(x)undStammfunk-tionF(x):= Rxf(x 0)dx 0.

•DieProdukt-undKettenregelderDi↵erentialrechnungunddieTechnikderpartiellenIntegrationf¨urdieIntegralrechnung.

•DieTaylorentwicklungbzwTaylorapproximationeiner“komplizierten”Funk-tiondurcheine“einfache”Funktion

•Di↵erentialgleichungen,etwainForm“Masse-mal-BeschleunigunggleichKraft”.BeschleunigungistdiezweiteAbleitungdesOrtesnachderZeit,unddasbe-sagteGesetznimmtdannimeinfachstenFalldieFormdergew

¨ohnlic

heDif-ferentialgleichungm d2

dt2q(t)=F(q(t))an.GesuchtistbeisoeinerDi↵erential-gleichungimmereineFunktiondiedieDi↵erentialgleichungbefriedigt,inunse-remBeispielalsoirgendeineFunktionq(t),die–wennmansiezweimalableitetundmitmmultipliziertdasgleicheliefertwiedieFunktionf(t)=F(q(t)).

undausderlinearenAlgebra

•Vektor,bildlich“Pfeil”

•L

¨ang

eeinesVektors,Skalarprodukt~a·~b,Kreuzprodukt~a⇥~bundSpatprodukt~a·(~b⇥~c).

•Matrix,insbesondere3⇥3Matrixf¨urdieDarstellungvonTensoren(Tr¨agheits-tensoretc.)undKoordinatentransformation,insbesondereDrehungdesKoor-dinatensystems

(5)

1.1PhysikundMathe19

•Determinante,f¨urdieBerechnungvonVolumina,aberauchzurBestimmungdescharakteristischenPolynomseinerlinearenDi↵erentialgleichungusw.

Wieschongesagt–indenerstenpaarVorlesungen...unddanngehtdasgenausoweiter.DieListesoll

¨ubr

igenskeinsfallsbehaupten,dassSiedasallesschoninderSchulegehabthaben.DashabenSiewahrscheinlichnicht.EsistnureineListevondenDingen,mitdenenSievermutlichganzschnellkonfrontiertwerden.

MathematiklernenentsprichtdemErlerneneinerFremdsprache.EineFremdspracheaber,indersienichtirgendwanneinkaufenoderimRestaurantbestellenk

¨onne

n,sonderneinerFremdsprachemitdersiesicheineandereFremdsprache–diePhy-sik–erschließen.WennSien

¨amlic

hphysikalischeSachverhaltebeschreiben,undschließlichauchverstehen,danntre↵enSiemathematischeAussagen

üb erphysika-lischeGrößen.JohannKeplers“DieQuadratederUmlaufzeitenverhaltensichwiedieKubendergroßenHalbachsen”istsoeineAussage–auchwennSiehierkeinGleichheitszeichensehenundkeineFormel.VerstehentunSiedieseAussagealsma-thematischnotwendigeKonsequenzeinerKombinationdesNewton’schenGravitati-onsgesetzes,demzufolgedieAnziehungskraftzweierMassenumgekehrtproportionaldemQuadratihresAbstands,mitdemÄquivalenzprinzip,demzufolgesichtr

schwereMasseeinesK ¨ageund

sindPhysik,dieKonsequenzensindnichtsalseinmathematischesEssay. 4 ¨orpersbisaufsHaargleichen.Wohlgemerkt,diePrinzipien

SolcheEssayszulesen,undimt¨aglichenPhysikerdaseinselberkleineEssayszuverfassenbedarfesmehralsnurdie“Buchstaben”zukennenundzuerkennen.Siem

¨ussenauchW

¨orterundvollst¨andigeS

¨atzebildenk

¨onne

n,m

Kommasetzung.Siem ¨oglichstmitrichtiger

¨ussen–kurzgesagt–auchdieGrammatikderMathematik

4Newtonginghier

desKurses. malebenkurzausderTaufehob–vgl.dieHandreichung“Kepler,Newtonundso”aufderWebseite drittesGesetz.SeinEndpunktwarseinGravitationsgesetz,wobeideraufdemWegdieAnalysis ¨ubrigensgenauinderanderenRichtungvor.SeinAusgangspunktwarKeplers

(6)

20Vorab

zumindestinihrenGrundz

¨ug

enbeherrschen.

EsgibtKollegendie

¨ub

erzeugtsind,dassbeispielsweisedieganzenGrenzwert-BetrachtungenderAnalysis–imJargongenannt“dieEpsilontik”–f¨urdenwahrenPhysiker

¨ub

erfl

integrieren!DerRestistwasf¨urErbsenz ¨ussigeGrammatikist:Hauptsache,mankanndenSinusableitenund

¨ahler

sagensie,undf¨ursErbsenz

¨ahlen

hatmaninderPhysikschongarkeineZeit.DerKollegehatnat¨urlichv

¨ollig

Recht:nie-mand,dernochalleTassenimSchrankhat,wirdimt¨aglichenGesch

Aberwennerzur dament–dieEpsilontik–konnteihmdabeigetrostausseinemBlickfeldgeraten. undnungehtdasbeiihmganzmechanisch(er“sieht”sofortCosinus).DasFun- kommtnurdurch.DerKollegehatdenSinusschontausendmalabgeleitet,¨Ubung leitungdesSinuszurEpsilontikgreifen.DasmussZack-Zackgehen,undZack-Zack ¨aftbeiderAb-

parathaben,abererwirdho↵entlicheinenWegzur 5 gefragtwird,wiemandenn2ausrechnet,dannwirderzwardieAntwortnicht p laubthat,sichausdemKellerindieoberenEtagenzubewegen.Undwennerdenn geradeseineeigeneEinsichtindieFestigkeitdesFundamentsesihmschließlicher- ¨uckdenktanseineeigeneStudienzeitf¨alltihmvielleichtauf,dass

dorteineEckeamFundamentangebenk ¨uckindenKellerkennen,und

¨onne

n,womandieAntwortfindet.

Eshilftalsonichts.Nur“Rechnenk

¨onne

n”reichtnichtaus.ManmussauchdieFundamentekennenundsichihrerFestigkeitselbstvergewisserthaben.Manmuss–umnocheinBildzubem

¨uhe

n–beiAdamundEvaanfangen.BeiMengeundZahl,beiFolgeundReihe,beiKleinundGroß.Dabeimussmanaberm

schnellauchSinusableitenundTangensintegrierenk ¨oglichst

¨onne

n.Tja–wenndasmalgutgeht...

5esseidenergreiftzubesondersgeistreichenAntwortMitdemComputer!

(7)

1.2Literatur21

1 .2 L it e ra tur

MathematiklernenSienichtinderVorlesung.DiezeigtallenfallseinenrotenFa-denderihrSelbststudiumerleichternsoll.MathematiklernenSieindemSieinderVorlesungmitschreiben,IhreMitschriftzuHauseinOrdnungbringen,die¨Ubun-genbearbeitenund–mitPapierundBleistiftgewappnet–einMathebuchlesen.Empfohlenseihier

•AlfredRieckersundKurtBr¨auer“EinladungzurMathematik”,Logos2002.Tutwasesbehauptet.Nichtsonderlichsystematisch,aberguterLeitfadenf¨urdieVorlesung.

•SiegfriedGroßmann“MathematischerEinf

¨uhr

ungskurs–f¨urdiePhysik”,8.Auflage,B.G.Teubner2000.MitAusnahmederRechnensimKomplexenisthieraufnur344Seitenalleszusammengefasst,“wasmansobraucht”.Etwas“rechenorienterter”alsRieckers/Br¨auer;setztallerdingsvoraus,dassSieihrAbivorG12gemachthaben...ambesteninden1970’erJahrenoderdavor.

•HerrmannSchulz“PhysikmitBleistift”,7.Auflage,HarriDeutsch2009.Sehrgut,wennmanschoneinenrotenFadenhat,abernichtweiß,woderhinf

¨uhr

t.AusgezeichnetdiePflegevonPapier-und-Bleistift.

Etwash

¨artereKost,aberGrundlagedieserVorlesung

•FriedhelmErwe“Di↵erential-undIntegralrechnung”(Band1:ElementederInfinitesimalrechnungundDi↵erentialrechnung,Band2:Integralrechnung),B.I.Hochschultaschenb

nerationenvonMathe-undPhysikstudentengedient. [ISBN3-411-00030-9und3-411-00031-7].SolideWertarbeit.HatbereitsGe- ¨ucherBde.30und31,B.I.-Wissenschaftsverlag1962,

(8)

22Vorab

•KonradK

¨onig

sberger“Analysis1”(5.Auflage),Springer2001[ISBN3-540-41282-4]und“Analysis2”(3.Auflage),Springer2000[ISBN3-540-66902-7].ThematischeBreiteundTiefeinetwawieErwe,inderSpracheetwasmoderner.Empfehlenswert.

•KlausJ

¨anic

h“Mathematik1–GeschriebenfürPhysiker”und“Mathematik2–GeschriebenfürPhysiker”,Springer2001und2002[ISBN3-540-41976-4und3-540-42839-9].InparlierendemTondasvolleProgrammfürdenkanonischenFachstudentenimPhysikBachelor.ZuweilengehtdieGratwanderungzwischenFachsystematikderMathematikundZielgruppenorientierungPhysikschief.Dasst

¨ortdiePuristen,l¨asstmichabervergleichsweisekalt.

•“AnalysisI”und“AnalysisII”vonHerbertAmannundJoachimEscher,Birkh

K ¨auser.MeinederzeitigenFavoriten.NichtganzsotrockenwieErweoder

¨onig

sberger,nichtganzsoverplaudertwieJ

¨anic

h.Insbesondereauchf¨urStudierendederMathematikhervorragendgeeignet.

VertiefendeMonographienzuspeziellenKapiteln:

•Heinz-DieterEbbinghausetal.“Zahlen”,3.Auflage,Springer1992.Ok–eherwasfürAficionados.AberzauberhaftinseinenAusführungenzurIdeenge-schichtederMathematik.AlsogenaudasrichtigefürStudierendeinLehr-amtsstudieng

¨ang

en...

•KlausJ

¨anic

h“LineareAlgebra”,7.Auflage,Springer1998[ISBN3-540-64535-7].EinwunderbaresLehrbuchzueinemwichtigenWerkzeugderPhysik.F

¨ur

Mathematik-undPhysikstudierendegleichermaßengeeigent.

•KlausJ

¨anic

h“Analysisf¨urPhysikerundIngenieure–Funktionentheorie,Dif-ferentialgleichungen,SpezielleFunktionen”,3.Auflage,Springer1995[ISBN

(9)

1.3Logikf¨urLaien23

3-540-58878-7].Hierfindetsich,wasbeiGroßmannfehlt–n

¨amlic

hArithmetikundAnalysisimKomplexen.

•KlausJ

¨anic

h“Vektoranalysis”,2.Auflage,Springer1993[ISBN3-540-57142-6].Dasklingtwiedivgradrot,istabereigentlicheinewundersch

¨one

Einf¨uhrungindieDi↵erentialgeometrie.HateinenEhrenplatzaufmeinemRegal.Brau-chenSieaberallenfallsimzweitenTeil(Sommersmester).

1.3 Logik f¨ur L a ie n

DieSprachederPhysikistdieMathematik.UnddieSprachederMathematik...istdieLogik.AberkeineAngst–Siem

studiumabsolvierenbevorSieaufdieMathematiklosgelassenwerdenk ¨ussenjetztnichtersteinumfangreichesLogik-

¨onne

n.EinpaareinfachelogischeSachverhalte,dieIhremn

Gl ¨uchternenMenschenverstandzum

¨uckgel¨aufigsind,reichendurchausaus.

JedeAussage,diesieinderMathematiktre↵en,istentwederwahroderfalsch–einDrittesgibtesnicht,gebildetausgedr

“Falsch”sinddiebeidenm ¨ucktTertiumnondatur.“Wahr”und 6

Aussage“ZweimalZweiistVier”,beispielsweise,istwahr.DieAussage“F ¨oglichenWahrheitswertewundfeinerAussage.Die

¨unf

isteinegeradeZahl”istfalsch.IsteineAussageAwahr,sagtmanauchAseirichtig,oderAgelte.IstAfalsch,sagtmanAseiunrichtigoderung

¨ult

ig. DieWahrheitswertevon“und”,“oder”und“wenn–dann”fasstmangerneineinersog.Wahrheitswerttabellezusammen.

ABA^BA_BA)Bwwwwwwffwffwfwwffffw6Bittenicht“Wahr”und“Falsch”mit“Beweisbar”und“Ubeweisbar”verwechseln.InderMathematik–dasweißmanseitG esumihreBedeutungfürdiePhysikgeht,spielendieseUnterschiedeaberzumGlückkeineRolle. nachdemwiemanhierverfährt,schautmanaufleichtunterschiedlicheAxiomensysteme.Wenn unbeweisbarsind.SolcheSätzekannmandannfür“wahr”erklären,oderauchals“falsch”.Je ödel,Turingundanderen,sinddurchausSätzevorstellbar,die

(10)

24Vorab

BrotundButterderMathematiksindAussagenderForm

1+2·3= 4·562 ,(1.2)

genannteineGleichung. 7EineGleichunghateinelinkeSeiteundeinerechteSei-te.BeideSeitenhabennotwendigdieFormvonTermen.EinenAusdruckderForm1+2·3,beispielsweise,isteinTerm.EinAusdruckderForm1+istkeinTerm.EinTermisteinAusdruck,dereineZahl(odereinanderesmathematischesObjekt)benennt.DerAusdruck1+2·3isteinTerm,weilerdieZahl7benennt.KeineAh-nung,welcheZahlderAusdruck1+benennt.Daherist1+auchkeinTerm(sondernm einfachistdas. (bzw.dasmathematischeObjekt),diederTermaufderrechtenSeitebenennt.So SeitebenenntdiegleicheZahl(bzw.dasmathematischeObjekt)ist,wiedieZahl tet,dassdieZahl(bzw.dasmathematischeObjekt),diederTermaufderlinken ¨oglicherweisedieNotef¨ureinebesondersguteLeistung).EineGleichungbehaup-

HatmaneineAussageA,kannmandarauseineneueAussage“Aistnichtwahr”bilden,genanntdieNegationvonA,kryptischnotiert¬A.DieAussage¬Aistgenaudannwahr,wennAfalschist.

HatmanzweiAussagenAundB,istauch“AundB”eineAussage,genanntKonjunktion,notiertA^B.WahristdieKonjunktiondannundnurdann,wennsowohlAalsauchBwahrsind.

DieAussage“AoderB”nenntmaneineDisjunktion,auchAlternative,notiertA_B. 8DieDisjunktionistdannundnurdannfalsch,wennsowohlAalsauchB

7Auch1=2isteineGleichung,nurdassdieseGleichungeinefalscheAussage,imGegensatzzurGleichung(1.2),dieeinewahreAussagedarstellt.InderMathematikbeschr

Kannmansichmerken:Lateinisch“vel”heißtaufdeutsch“oderauch”bzw“odersogar”.Wer8 gegenEndeeinesindirektenBeweises. Allgemeinendarauf,nurwahreAussagenhinzuschreiben,2=1werdensieseltensehen,allenfalls ¨anktmansichim

(11)

falschsind.Achtung!ImGegensatzumlandl

¨aufig

enSprachgebrauchist“oder”hiernichtimausschließendenSinnevon“entweder–oder”gemeint. 9InjedemFallgiltimmerA_¬A.DieAussage“Seinodernichtsein”istebenkeineFrage,wiebeiShakespeare,sondernals‘Tertiumnondatur’eineewigeWahrheit. 10

DieAussage“WennAgilt,danngiltB”,auchgelesen“ausAfolgtB”undno-tiertA)BnenntmaneineImplikation.DieImplikationkannmitdenbereitsvereinbartenJunktoren^und_definiertwerden

(A)B):=(¬A)_B.(1.3)

Dashierneueingef

¨uhr

teZeichen:=k

¨urzt

¨ubr

igensdasumgangssprachliche“stehtf¨ur”ab. 11Ina:=bsagtmandannauch“aistdefinitionsgem

wie(1.3)sindimmerwahr–siesindnichtbeweisbed nenntmandanndasDefiniens,das“b”dasDefiniendum.Defintionsgleichungen ¨aßgleichb”.Das“a” diebehaupteGleichheitina=bdurchausbeweisbed ¨urftig.ImGegensatzdazuist

k ¨urftig–dieAussagea=b

¨onn

tejaauchfalschsein.DieGleichung2=3,beispielsweise,ist–wieSiewissen–imRahmender

¨ublic

henArithmetikschlichtfalsch. 12WiemanunterR

dieKunstdeslogischenSchließensordentlichbeweist,wirdimn ückgri↵auf zumindestinderLogikderMathematik.InderPhysikgibtesSchr10 istgenaudannfalsch,wennderWahrheitswertvonAdergleichewiederWahrheitswertvonB. “EntwederAoderB”nenntmaneineKontravalenz,auchexklusivesoder.DieKontravalenz9 andereSymbol^für“und”steht. keinLateinkann,merkesicheinfach“Wahl”.Undalsokannmansichauchmerken,dassdass ächstenAbschnitt

beziehtsichdabeiaufdensog.erlagerungszustandeinesEnsemblesgleichartigpr¨Ub kann–ineinemmetaphorischenSinne–sowohl“sein”alsauch”nichtsein”.DieMetaphorik ¨odingersKatze.Unddie

WiderspruchzumAxiomensystemderhandsels WennSienundefinieren2:=3,befindetsichdasdamitvonIhnenformulierteAxiomim12 WitzboldedürfenauchsagenDasZeichen:=stehtfür“stehtfür”.11 ... Katzen,undebennichtaufeineindividuelleKatze.MehrdazuinderQuantenmechanik-Vorlesung äparierter nichtwiderspruchsfreiundalsoalsmathematischesAxiomensystemnichtgeeignet. üblichenArithmetik.DasGesatmsystemistdann

(12)

26Vorab

kurzabgehandelt.HierfahrenwirfortmitdenAussagenundihrenm

kn ¨oglichenVer-

¨upf

ungen.

MitHilfederWahrheitswerttabellenf¨ur¬und_

¨ub

erzeugtmansichschnell,dassA)Bnurdannfalschist,wennBfalsch,aberAwahr,inallenanderenF

¨alle

naberwahr.F

¨ur

dienochzubesprechendeKunstdeslogischenSchließensbedeutetdas,dassauseinerwahrenAussagekeinefalscheAussageabgeleitetwerdenkann.AllerdingskannauseinerfalschenAussagejedeAussageabgeleitetwerden,obnunwahroderfalsch.GebildetsagtmanExfalsoquodlibet. 13

ImplizierteineAussageAeineAussageB,undimpliziertandererseitsdieAussageBauchdieAussageA,sagtmanAundBseien

¨aquivalent.Definiertistdiequivalenz¨A

(A,B):=(A)B)^(B)A).(1.4)

Die¨AquivalenzA,Bisto↵enbargenaudannwahr,wennsichdieWahrheitswertevonAundBgleichen,d.h.wennbeidewahr,oderwennbeidefalschsind.

MitHilfevonWahrheitswerttabellen

¨ub

erzeugtmansich,dassdieAussageA)Bgenaudannwahrist,wenndieAussage(¬B))(¬A)wahrist(sog.Kontrapositi-on).Mittels¨Aquivalenzl¨asstsichdasGesagtauchalsFormelformulieren,

(A)B),(¬B)¬A)(1.5)

InderImplikationA)BistBnotwendigeBedingungf¨urA,undAisthinrei-chendeBedingungf¨urB.

Achtung!Esistdurchausm

“Wennesregnet,dannstehenWolkenamHimmel.”,dieKontrapositionbedeutet “EsstehenWolkenamHimmel.”DieImplikationA)BbedeutetnundieWeisheit Afalsch!SeibeispielsweiseAdieAussage“Esregnet.”undBdieAussage ¨oglich,dassdieImplikationA)Bwahr,obwohl

13genaugesagt:Exfalsosequiturquodlibet–ausFalschemfolgtBeliebiges.

(13)

“WennkeineWolkenamHimmelstehen,regnetesnicht”.Allerdingskannesdurch-aussein,dassesnichtregnet–Aalsofalsch–obwohlWolkenamHimmelstehen,d.h.Bzutre↵end.

DieAussage“(A)B)und(B)C)”impliziertdieAussageA)C,inFormeln

(A)B)^(B)C))(A)C).(1.6)

wasanhandderWahrheitswerttabelleunschwerverifiziertwerdenkann.F

¨ur

ma-thematischeBeweiseistdiesesZerlegeneinesgroßenSchrittes(vonAnachC)inkleinereSchritte(zun

¨achstvonAnachB,dannvonBnachC)vonunsch

Wert–vgl.auchGl.(1.7). ¨atzbarem

Bekanntlichgibtes¨Apfel,St

¨uhle

undungeradeZahlen.IsteingegebenesDingxnuneinApfelsagtmanxgeh

Unterdenelngibtessolchediesüßsind,undsolchedierotsind.“SÄpf XdieGesamtheitallerelgemeintist.IstxkeinApfelschreibtmanx/2X.Äpf örezurApfelkollektion,notiertx2X,wobeimit

üß sein”und“Rotsein”sindjeweilseineEigenschaft,nennenwirsiekurzSundR.HatmannuneinenApfelx,istS(x)gleichbedeutendemitderAussage“xistsüß”.DieKollektionallersüßenÄpfelnotiermandann{x2X|S(x)}(lies:dieGesamtheitallerDingeausdemApfelkollektiv(vordemTrensstrich)diesüßsind(nachdemTrennstrich)).Sied

¨urfenhierSruhigalsFunktionsehen:Defintionsberichw

¨are

nalle¨Apfel,WertebereichdiebeidenWahrheitswertewundf.

Aussagenwie“AlleMenschensindsterblich”k

¨onne

nmitHilfedessog.Allquantorspr

k S(a)dieAussage“aiststerblich”.Aussagenwie“Esf¨ahrteinZugnachNirgendwo” ¨agnantformuliertwerden:8x2M:S(x),worinMdieMengeallerMenschen,und

¨onne

nmitdemExistenzquantorpr

ZdieMengeallerZ ¨agnantformuliertwerden:9x2Z:N(x),worin

¨ug

e,undN(a)dieAussage“DerZugaf¨ahrtnachNirgendwo”.

(14)

28Vorab

1 .4 B e w e is e und de r U m g a ng m it G le ic h ung e n

IndenseltenstenF

¨alle

nweißmanvonvorneherein,obeinegegebeneAussagewahristodernicht.Wesentlichh

¨aufig

erm

fenist–etwadenRegelndesnat BeweisenisteineArgumentationstechnik,dieeinemstriktenRegelwerkunterwor- ¨ochtemandieWahrheiteinerAussagebeweisen.

¨url

ichenSchließens.Ausgehendvonbereitsalsg

¨ult

igerkanntenAussagengestattensolcheRegelndenSchlussaufeineneueg

¨ult

igeAussage–die“zubeweisende”Aussage–wennderBeweisdenngelingt.

F¨ur

einegegebeneFunktionf(x),

¨ub

erallstetigdi↵erenzierbar,m

FormelsprachedesnatürlichenSchließensliestsichdas geführtwerden:“A!Bistwahr.NunistAistwahr.DaheristBwahr!”.Inder 0IndiesemFallkannderBeweisderAussage“f(x)=0”nachfolgendemSchema 0 0dassfbeixeinlokalesMaximumaufweist(imFolgendendieAussageAgenannt). 0f(x)ausrechnen,dassabermitvertretbaremAufwandfestgestelltwerdenkann, 0 Funktionsofurchtbarkompliziertist,dassmansienichteinfachableitenkannum 0(f(x)=0seiimFolgendendieAussageBgenannt).Wirstellenunsvor,dassdie 0 0spielsweisebeweisen,dassihreAbleitunganeinergegebenenStellexverschwindet öchtemanbei- A)BAB ,(1.7)

genanntderModusPonens, 14auchAbtrennungsregel.DerModusPonensunddersog.KettenschlussA)BB!CA)C (1.8)

sindGrundformendessog.direktenBeweises.GrundformendesindirektenBe-

14genauer:Modusponendoponens–daszuSetzendesetzend.

(15)

1.4BeweiseundderUmgangmitGleichungen29 weisessindderModustollendotollens 15,

A)B¬B¬A ,(1.9)

derModustollendoponens 16,

A_B¬AB ,(1.10)

unddiereductioadabsurdum,dieGrundformdesWiderspruchsbeweises,¬A)(B^¬B)A .(1.11)

Hierstehenjeweils

¨ub

erdemQuerstrichg

¨ult

igeAussagen,mitderenHilfeaufdieG

¨ult

igkeitderAussageunterdemQuerstrichgeschlossenwird.

DassGleichung(1.2)einwahreAussagedarstellt,kurzgesagt“dassGleichung(1.2)wahrist”,istdurchausbeweisbed

lit quivalenzumformungengeführtwerden,anderenEnden(ho↵entlich)eineTrivia-Ä ürftig.DerBeweiskannindiesemFalldurchsog.

nichtzuverlieren(“H ¨atwiebeispielsweise1=1(oder0=0,oder17=17etc.)steht.Umdieersicht¨Ub

¨ah?

Wiekommt’nderjetztdarauf?”)kann–undsollte–mandiejeweiligeUmformungdurcheinensog.Auftragsstrichprotokollieren.Etwaso 17

15lat.dasAufzuhebendeaufhebend16lat.dasAufzuhebendesetzend17DasAssoziativgesetzwirdin??nocheinmalrekapituliert...

(16)

30Vorab

wobeimitU↵!einunbestreitbarwahrerSatzderArithmetikerreichtist(¨aquivalenteinemAxiom).Die¨Aquivalenzder“Originalgleichung”(1.2)mitU↵!inVerbindungmitderunbedingtenG

¨ult

igkeitvonU↵!.erlaubtnun–viaModusPonens–aufdieG

¨ult

igkeitvon(1.2)zuschließen.

Verstehtsich,dassmitzunehmender¨Ubung,dieDichteanAuftragsstrichenab-nimmt–manmussjanichtjedeBanalit

geraten,Auftragsstricheernstzunehmen.Erkanndannn ¨atprotokollieren.AberdemNovizensei

¨amlic

hbessernachvollzie-hen,wosichseinDenkfehlereingeschlichenhat(wennerdennDenkfehlermacht).

EinewichtigeFormvon¨AquivalenzumformungistdieTermvereinfachung.Term-vereinfachungistbeispielsweise2·(1+2·3)=2+2·2·3=2+12=14.Aberauch23 + 32 = 136 istTermvereinfachung.UntereinerTermvereinfachung

¨ande

rtsichderZahlenwertdesTermsnicht.AndieserStelleeinegroßeBitte:

MachenSieumHimmelsWillenbloßnichtdenFehler,sofortallesmitdemTaschenrechner(odersonstwie)inDezimalzahlenauszudr

solangeirgendm ¨ucken!BleibenSie

¨oglichbeidenBr¨uchen.ErstganzamSchlussk

¨onne

nSie,wennSiedennunbedingtwollen, 136alsDezimalzahlschreiben, 136=2,166....

DieanderewichtigeFormvon¨AquivalenzumformunginvolviertdasAddieren,Sub-trahieren,MultiplizierenundDividierenderbeidenSeiten(=Terme)einerGleichungmitirgendwelchen,m

¨oglichstgeschicktgew

¨ahlt

enZahlen.HatmanbeispielsweiseeineGleichung 32 =1+ 12 ,erzeugtMultiplikationmit2dieGleichung3=2+2· 12 .DerWertderlinkenSeitehatsichdabeige

¨ande

r(von 32 nach3),ebensoderWertderrechtenSeite(von1+ 12 nach2+2· 12 ),aberderWahrheitswertderGleichunghatsichnichtge

¨ande

rt(von“wahr”nach“wahr”).Addierenetc.d

¨urfenSie

¨ubr

igensauchganzeGleichungen,vorausgesetzt,SiehabenderenG

¨ult

igkeitschonanderwei-tigetabliert.

DasGesagtel¨aßtsichproblemlosaufdieBuchstabenrechnung

¨ub

ertragen.Buch-

(17)

1.4BeweiseundderUmgangmitGleichungen31

stabenstehenfürZahlen,derTerm2·bfürdasDoppeltederZahlb,bzw.–demKommutativgesetzderMultiplikationseiDank–fürdasb-fachederZahl2.Weresgenaunehmenm

Stellenicht(undbrauchtihnauchnichtzukennen). ZahlenwertdesTerms–schließlichkenntmanjadenZahlenwertvonbandieser ¨ochte,nennt2·beinenunges¨attigtenTerm.O↵enbleibthierder

Zuweilenst

geradegesagtebezeichneteineunges¨attigteAussage,wobeinachderL ¨oßtmanaufeineGleichungderFormx·a=2·b,imAnschlussandas

Gleichunggefragtwird.Ohneesdazuzusagen,meintmanmit“dieL ¨osungdieser genWertderUnbekanntenx,derbeigegebenenParameterna,bdieunges ¨osung”denjeni-

einegewisseSorgfalt–alsonichteinfach“durchateilen”,dennwasw AussagezueinerwahrenAussagemacht.uivalenzumformungenerforderndannÄq ättigte uivalenzumformung),manmussalsodenFalla=0gesondertbehandeln.Äq wenna=0?DurchNulldarfmanschließlichnichtteilen(durchNullteilenistkeine äredenn,

Manwirddannfeststellen,dassdieGleichungx·a=2·bimFallea=0f¨urb6=0

¨ub

erhauptkeineL

GleichungeinewahreAussage.Mansagtdann,dieL ösunghat,dassesalsokeinenWertfürxgibt,fürdendie

bestehtdieL x·a=2·bseiimFallea=0,b6=0,dieleereMenge.ImFallea=0,b=0hingegen ¨osungsmengederGleichung dieL ¨osungsmengeausderMengeallerZahlen.NurimFallea6=0umfasst

L a¨osungsmengegenaueineZahl.Stattumst¨andlichzuformulieren“{}istdie 2·b

¨osungmengederGleichungx·a=2·bimFallea6=0”k

a ab,undsagt“x=istdieL 2·b ¨urztmandieProsaetwas vorausgesetztwird,dassa6=0). ¨osungderGleichungx·a=2·b”(wobeistillschweigend

(18)

32Vorab

1 .5 D a s P ri nzi p de r v o lls t¨a ndi g e n Induk ti o n

EinenBeweismittelsÄquivalenzumformungenistderFormnacheindirekterBeweis.ImmerwennSieetwasnachrechnenoderausrechnenführenSieeinensolchenBeweis.Inder“reinenMathematik”istderBeweismittelsÄquivalenzumformungenabereherseltenanzutre↵en.

BetrachteetwadieAussage

E(n):1+2+3+···+n= n·(n+1)2 (1.12)

F¨ur

n=1stimmtdieseAussageo↵ensichtlich,“E(1)istwahr”.Wieaberkannmanbeweisen,dassE(n)f¨urallenat¨urlichenZahleneinewahreAussage? 18

DasBeweisprinzipdervolst¨andigenInduktion:Seizujedernat¨urlichenZahlneineAussageA(n)gegeben.DannsindalleAussagenA(n)wahr,wennmanbeweisenkann

1.A(1)istrichtig(sog.Induktionsanfang).

2.F

¨ur

jedesn,f

¨ur

welchesA(n)richtigist,istauchA(n+1)richtig(sog.Induktionsschluss).

DasBeweisprinzipdervollst¨andigenInduktionfolgtunmittelbarausdemIndukti-onsaxiomdasbeieinersystematischenEinf

¨uhr

ungdernat¨urlichenZahlenformuliertwird.

18EinerAnekdotezufolgehatGaussalsjungerSch¨ulerdieWahrheitvonE(100)durchUmord-nungderReihe,1+2+3+...+100=(1+100)+(2+99)+(3+98)+···+(50+51)=50·101=100·1012bewiesen.

(19)

1.5DasPrinzipdervollst¨andigenInduktion33

ImvorliegendenFallwurdeschonerkannt,dassE(1)legitimerInduktionsanfang.DerSchlussvonE(n)nachE(n+1)wirdnundurchfolgendekleineRechnungvollzogen,wobeianderStelle⇤dieAussageE(n)alsInduktionsvoraussetzungher-angezogenwird:

1+2+3+···+n+(n+1) ⇤= n·(n+1)2 +(n+1)= (n+1)·(n+2)2 .(1.13)

DamitistE(n))E(n+1)f¨uralleneinewahreAussage.WeilaberschonE(1)alswahrerkanntwurde,kannmitModusPonensaufE(2)geschlossenweden,imVerbundmitderderWahrheitvonE(2))E(3)viaModusPonensaufE(3)undsoweiter.M.a.W.E(n)istwahrf¨urallen.qed 19

NebendemBeweisdurchÄquivalenzumformungenunddemBeweismittelsvollständi-gerInduktionistderWiderspruchsbeweisisteinebeliebteFigurdermathematischenBeweisführung.GuteGelegenheitalso,SiemitdieserFigurvertrautzumachen.

DazueinBeispieldasschoninEuklidsLehrbuchderGeometriezufindenist:

Satz:EsgibtunendlichevielePrimzahlen.

Angenommenesg¨abenurkPrimzahlenp1<p2<···<pk.Dannw

12kkp=p·p···p+1entwederselbereineneuePrimzahlp>p,odersiew ¨aredieZahl

¨are

durcheinePrimzahlp 0teilbar,dieallerdingsauchneuseinm

1kPrimzahlenp,...,pnichtohneRestteilbar.InbeidenF ¨usste,dapdurchdie

¨alle

nbef

¨ande

mansichimWiderspruchzurAnnahme,unddaesmindestenseinePrimzahlgibt,z.B.dieZahl17,istdereinzigeSchlussderbleibt,dassesunendlichvielePrimzahlengibt.qed

19Das“qed”,wasmanzuweilenamEndeeinesBeweisesfindetsteht

demonstraundum”–waszubeweisenwar. ¨ubrigensf¨ur“quoderat

(20)

34Vorab

1 .6 A uf g a b e n

.Aufgabe1-1(1Punkt)

SchreibenSieunsdiejenigenFormelnauf,dieIhnenimLaufederWochebegegnen,etwaindenVorlesungenzurExperimentalphysik,unddieIhnenunklarsind.

.Aufgabe1-2(Galilei’sFallgesetz)(6Punkte)Inden“Discorsi”schreibtGalileiinderEinleitungzumDrittenTag

[...]EinigeleichtereS

¨atz

eh

nat¨urlicheBewegungfallenderschwererK ¨ortmannennen:wiezumBeispiel,dassdie

wiesen,dassdievomfallendenK nichtausgesprochenworden;dennsovielichweiss,hatNiemandbe- sei.InwelchemMasseaberdieseBeschleunigungstattfinde,istbisher ¨orpereinestetigbeschleunigte

¨orperingleichenZeitenzur

StreckensichzueinanderverhaltenwiedieungeradenZahlen. ¨uckgelegten

SoweitGalilei.Wiepasstdaszudem,wasSieinderSchulegelernthaben?

Anmerkung:GalileikanntenochkeineInfinitemsimalrechnung.DiewurdeerstvonNewtonundLeibnizerfunden.

.Aufgabe1-3(⇡Punkte)

EinealteBauernregelbesagt“WennderHahnkr¨ahtaufdemMist,

¨ande

rtsichdasWetteroderesbleibtwieesist”.UnterwerfenSiedieRegeleinerlogischenAna-lyse.K

¨onne

SieausderWetterlageaufdasKr¨ahenbzw.nicht-Kr¨ahendesHahnesschließen?

.Aufgabe1-4

(21)

1.6Aufgaben35

“WennmeinGroßmutterR

¨ade

rh

¨atte

,w

wort.Nunstellensiefest,dassihreGroßmutterinderTateinOmnibusist.D ¨aresie’nOmnibus”lauteteinaltesSprich-

Sieschließen,dasssieR ¨urfen

¨ade

rhat?

.Aufgabe1-5(⇡Punkte)

LehrerLempel,gef¨urchtetf¨urseinenmesserscharfenVerstand,behauptet,erw

anirgendeinemTagindern ¨urde

sen,abermanw ächstenWochegenaueineMathearbeitschreibenlas- ruhigt:“Lempelügt!”.Logikus,ebensopfiffig,ergänzt“Trotzdemsolltenwirb Klassenarbeitgekommensei.Rekursine,dasanerkannteMathe-AssderKlasse,be- ürdeamMorgendesfraglichenTagesnichtwissen,dassderTagder

ernstnehmen? biszumUmfallen!”WieargumentiertRekursine,undwiesosolltemanLogikus’Rat ¨u↵eln

.Aufgabe1-6(3Punkte)

ZeigenSie:DieImplikationA)Bistgenaudannwahr,wenndieKontraposition(nichtB))(nichtA)wahrist.

.Aufgabe1-7(1Punkt)

Jemandbehauptet“Esgibt3Primzahlen”.StimmenSiezu?

FallsSieschonwissen,wasmanunterderAbleitungeinerFunktionversteht:istdasVerschwindendererstenAbleitungineinemPunktx0notwendigeoderhinreichendeBedingungdaf¨ur,dassdieFunktiondorteinMaximumhat?

(22)

36Vorab

EsseiA(x,y)dieKurzformf¨urdieAussage“Studentin/StudentxfindetdasThemayderMathe-Vorlesungbanal.”GebenSiedieumgangssprachlicheFormulierungf¨ur

8x9y:A(x,y)(1.14)9y8x:A(x,y)(1.15)

.Aufgabe1-10(GeometrischeSummenformel)*(7Punkte)

ZurErinnerung:Mitx nmeintmandasn-facheProduktvonxmitsichselbst,x n=x·x···x(nFaktoren),undesgiltx n·x m=x n+m.

BeweisenSiemittelvollst¨andigerInduktiondiegeometrischeSummenformel

1+x+x 2+···+x n= 1x n+1

1x ,x6=1.(1.16)

.Aufgabe1-11(BernoullischeUngleichung)(7Punkte)

ZurErinnerung:EineZahlaheißtgr

einepositiveZahl. ¨oßeralseineZahlb,notierta>b,wennab

BeweisenSiemittelsvollst¨andigerInduktiondieBernoulli’scheUngleichung

(1+x) n>1+n·x,f¨urx2R,x>1,x6=0undn=2,3,....(1.18)

K a pi te l 1

K a pi te l 1

Vo ra b



1 .1 P h y si k und M a the

1 .2 L it e ra tur

1.3 Logik f¨ur L a ie n



1 .4 B e w e is e und de r U m g a ng m it G le ic h ung e n



1 .5 D a s P ri nzi p de r v o lls t¨a ndi g e n Induk ti o n

1 .6 A uf g a b e n