K a pi te l 4

(1)

K a pi te l 4

Ve k to r

InderPhysikwerdenvieleNaturgesetzevektoriellformuliert.Newton’slegend

¨are

s“ef-gleich-em-mal-ah”,beispielsweise,isteineGleichungzwischenzweiVektoren“ef”und“ah”.Solche“Newton’schenVektoren”sinddurchBetragundRichtungcharakterisiertwassichwunderbardurchPfeileveranschaulichenl¨asst–denkenSienurandasKr¨afteparallelogramm,dasSieinderSchulekennengelernthaben. 1

Außerdemlassensiesichaddieren(bildlich:aneinanderh

¨ang

en)undmitZahlenmul-tiplizieren(bildlich:strecken/stauchen),ohnedenRaumderKr¨aftezuverlassen.

AuchdieWellenfunktionenderQuantenmechaniklassensichaddierenundmitZah-lenmultiplizierenohnedenRaumderWellenfunktionenzuverlassen.EinenPfeilwirdmansoeinerWellenfunktionschwerlichzuweisenwollen.Trotzdem–ausma-thematischerSichthandeltessichauchbeidenWellenfunktionenderQuantenme-chanikumVektoren.

1EinVektoristeineGr¨oße,diesowohldurchdenBetragalsauchdurchdieRichtungbestimmtwirdheißtesinBandI“Mechanik”desBerkeleyPhysikKurses.

cMartinWilkens7322.August2014

(2)

74Vektor

4 .1 D e fini ti o n

WichtigeDingesolltemanaucheinmalanst¨andigdefinieren.Hieralso

Definition:SeiKeinK

AbbildungVektoraddition ¨orper.EinK-VektorraumisteineMengeVaufdereine

+:V⇥V!V(~u,~v)7!~u+~v (4.1)

undeineAbbildungSkalarmultiplikation 2

K⇥V!V(,~v)7!~v (4.2)

gegebensind,diedenfolgenden8Axiomengen

¨ug

en:

1.(~u+~v)+~w=~u+(~v+~w)f

¨ur

alle~u,~v,~w2V.

2.~u+~v=~v+~uf¨uralle~u,~v2V.3.EsgibteinausgezeichnetesElement~o2V,genannt“Nullvektor”,mit~v+~o=~vf¨uralle~v2V.4.Zujedem~v2VgibteseinElement~v2Vmit~v+(~v)=~o.

5.(µ~v)=(µ)~vf¨uralle,µ2Kund~v2V.

6.1~v=~vf¨uralle~v2V.

7.(~v+~u)=~v+~uf¨uralle2Kund~v,~u2V.

8.(+µ)~v=~v+µ~vf¨uralle,µ2Kund~v2V.

2DerFunktorf¨urdieSkalarmultiplikationbleibthiernamenlos.

22.August201474cMartinWilkens

(3)

4.1Definition75

Außerdemvereinbarenwir~v:=~vf¨uralle2Kund~v2V.

F¨ur

diePhysikvonbesonderemInteressesindreelleundkomplexeVektorr

¨aume

,alsoK=RoderK=C.Die2KnenntmanauchSkalaredesVektorraums,dieMengeVauchdieGrundmenge,dieVektoradditionundSkalarmultiplikationnenntmanVektoroperationenundeinenAusdruck~v+µ~unenntmaneineLi-nearkombination.PedantischnotiertmaneinenVektorraumalsTripel(V,K,+),redetzuweilenvoneinemVektorraum

beimNamenderGrundmengeV. ¨uberK,ruftdasTripelabermeisteinfach

Abb4.1IllustrationderSkalarmultipli-kationundInversion. VektoreneinesVektorraumswerdengernedurchPfeileveranschaulicht(daherun-sereNotationeinesVektors,wiebeispielsweise~v,mitdemPfeilaufdemKopf).EinPfeilisteingeometrischesDingderEuklidischenGeometrie,n

¨amlic

heingerichtetesGeradenst¨uck.Dabeisollgelten,dasszweigeometrischePfeile,diesichnurdurchei-neParallelverschiebungunterscheiden,dengleichenVektorrepr

sindalsoPfeilklassen.Manlerntnieaus... ¨asentieren.Vektoren

Abb4.2AdditionzweierVektorenundIl-lustraiondesKommutativgesetzes. DerSkalarmultiplikationentsprichtdieStreckungbzw.StauchungeinesPfeils–vgl.Abb.4.1,derVektoraddionentsprichtdasAneinanderh

¨ang

enzweierPfeile–vgl.Abb.4.2.DieAxiomederVektoradditionundSkalarmultiplikationerweisensichnunalselementareS

grammkonstruktion–vgl.Abb.4.2. derVektor-Addition,beispielsweise,findetdannseinenAusdruckinderParallelo- ¨atzederEuklidischenGeometrie.DasKommutativaxiom

GewarntseiallerdingsvorderGleichsetzungvonVektorenmitPfeilenodermitgerichtetenStrecken.Geometrischsindzweigegen

¨ub

erliegendenSeiteneinesPar-allelogrammsdurchausverschiedeneStrecken,algebraischwerdensieaberdurchgenaueinenVektorrepr

denBegri↵desWinkelsoderderL ¨asentiert–vgl.Abb.4.2.AußerdemkenntdieGeometrie

¨ang

e–inderDefinitiondesVektorraumsistvonentsprechendenGrößennirgendwodieRede.ZwarkannmanentsprechendeGrößenauchfüreinenVektorraumvereinbaren–unddasgeschiehtineinemdern

¨achs-

(4)

76Vektor

tenKapitelimBegri↵derNormunddesSkalarprodukts–dasistdannabereinbesondererAkt.

HatmaneinSystemvonVektoren~v1,~v2,...,~vk2VnenntmandieMengeallerLinearkombinationenL(~v1,...,~vn):={1~v1+...+n~vn|i2R}dielineareH

1ndesSystems.DieVektorendesSystems~v,...,~vheißenlinearunabh ¨ulle

¨an

gig,wenninderDarstellungdesNullvektors1~v1+···+n~vn=~onotwendigalleSkalaregleichNull;andernfallsheißensielinearabh

¨an

gig.

Abb4.3DarstellungeinesVektors~vineinerBasis{~b1,~b2}.ImBeispielist~v=53 ~b1+ 23 ~b2,alsov 1= 53,v 2= 23. EinSystem~b1,...,~bnkonstituierteineBasisvonV,notiert{~b1,...,~bn},wenndas(1)Systemlinearunabh

¨ang

ig,und(2)wennjederVektorvonValsLinearkombi-nationder~b1,...,~bndargestelltwerdenkann.DieZahlderVektorenineinerBasisistf¨uralleBaseneinesVektorraumsdieGleiche,unddefiniertdieDimensiondesVektorraums.DieDarstellungeinesVektors~vineinerBasis{~b1,...,~bn}notiertman

~v=~b1v 1+~b2v 2+···+~b nv n= X

i ~biv i=:~biv i(4.3)

wobeiganzrechtsdieEinsteinscheSummenkonventioneingef

¨uhr

twurde:“

¨ub

erdoppeltauftretende,schr

¨aggestellteIndiceswirdsummiert.”

UnterleichterSprachverdrehungnenntmanv idiei-teKomponentevon~v(obwohlessicheigentlichumeineKoordinatenhandelt).BeidemvonunsfavorisiertenRicci-Kalk

¨ul

werdenBasisvektorenmiteinemnachuntengestelltenIndexabgez

¨ahlt

,KoordinatenmiteinemnachobengestelltenIndex.InvielenLehrb

Abz ¨uchernwirdder

¨ahlinde

xibeidenKoordinatenallerdingsgernenachuntengestellt,undmanschreibtdannvistattv i.Dasistinbesonderef¨urNovizenhilfreich,kommensiedochnichtinVersuchung,diei-teKoordinatealsi-tePotenzvonv,“vau-hoch-iih”,zulesen.WirbleibenhieraberbeiderHochstellung.TiefgestellteIndicesanKoordinatenwerdenweiteruntennochgebraucht–StichwortDualraum.

(5)

4.2Beispiele77

4 .2 B e is pi e le

Beispiel1(Zahlenspalten):DerR nistdieMengeallern-TupelreellerZahlen.Soeinn-TupelnotierenwirjetztmalalsSpalte(notiertmitUnterstrich)

x= 0BBB@ x 1x 2...x n 1CCCA (4.4)

wobeiindemvonunsfavorisiertenRicci-Kalk

¨ul

mitx iwiegesagteinebestimmteZahlinderi-teZeiledesSpaltentupelsgemeintist,undnichtetwa“icks-hoch-i”.Jetztvereinbarenwirnoch,wieSpaltenzuaddierensind,0B@ x 1...x n 1CA+ 0B@ y 1...y n 1CA= 0B@ x 1+y 1...x n+y n 1CA,(4.5)

undwiemanSpaltenmiteinerreellenZahlmultipliziert,0

B@ x 1...x n 1CA= 0B@ x 1...x n 1CA.(4.6)

Rechenoperationenf¨urZahlenspaltensinddamitaufRechenoperationenmitgew

¨ohn-

lichenZahlenzur

¨uckgef¨uhrt.Undsieheda–diehiereingef

¨uhr

tenRechenoperationengen

¨ug

endenVektroraumaxiomen!Kurz:ZahlenspaltenbildeneinenVektorraum–denVektorraumR n.

(6)

78Vektor

EinebeliebtBasisdesR nbildendieVektoren

e1:= 0BBBBB@ 100...0 1CCCCCA ,e2:= 0BBBBB@ 010...0 1CCCCCA ,...,en:= 0BBBBB@ 000...1 1CCCCCA ,(4.7)

genanntdiekanonischeBasis.DieZahlderBasisvektorenistn–derR nisteinn-dimensionalerVektorraum.

VonprominenterBedeutungderR 3–inihmfindendieGeschwindigkeit,dieBe-schleunigung,dieKraftundandereGr¨oßenderNewton’schenPhysikihrnat¨urlichesHabitat.ImR 4die4-erVektorenderRelativit

2 mechanischenZust¨andeeinesSpin-Freiheitsgrades. 1 ¨atstheorie,undimCdiequanten- 2

[DieNotationmitdemUnterstrichfürdieZahlenspaltenvektoren--undebennichtmitdemPfeilaufdemKopf--solldaranerinnern,dasswirinderPhysikmitdenZahlenspaltenvektorenimmerVektorenbezüglicheinerirgendwiegewähltenBasisbezeichnen.EinZahlenspaltenvektoristebennichtderGeschwindigkeitsvektor,sondernlediglichDarstellereinessolchen.AndereBasis--andererDarsteller.]

Beispiel2(Funktionen):EineK-wertigeFunktionaufeinerMengeX,daranseierinnert,istjanichtanderesalseineAbbildungX!K.SeibeispielsweiseFdieMengeallerK-wertigenFunktionenaufdemIntervallX=[1,1],alsoF={f|f:[1,1]!K}.MitderVerabredung

(f+g)(x):=f(x)+g(x)(4.8)(f)(x):=f(x)(4.9)f¨urallex2[1,1]sindAdditionvonFunktionenundSkalarmultiplikationpunkt-weiseerkl¨art.Man

¨ub

erzeugtsich,dassmitf,g2Fauchf+gundfElement

(7)

4.3Untervektorraum79

vonF,d.h.auch(F,K,+)istK-Vektorraum(PfeilchenaufdemKopferspartmansichindiesemKontext).EineendlicheBasisl¨asstsichhiernichtangeben–derFisteinunendlichdimensionalerVektorraum.VektorendiesenTypsbegegnenIhnenbeispielsweiseinderQuantenmechanikdes“TeilchensinderKiste”.EineFunktionf(x)heißtdortWellenfunktion,undmit(4.8)und(4.9)findetdasSuperpositions-prinzipderQuantenmechanikseinemathematischeFormulierung.

Beispiel3(ImSupermarkt)GlaubenSienicht,alleVektorenh

sichhiertats 43123~a=LiterSahneliestsichihrEinkaufswagen~v=4~a+3~a+~a.Unddasses 1 12habensieeinenVektor.DennmitderVerabredung~a=Apfel,~a=Birneund deninihrenWagenvierel,dreiBirnenundeinenViertelLiterSahne–schonÄpf begegnetkommenganzohnePhysik.GehenSiebeispielsweiseeinkaufen,undla- mitPhysikzutun.ImGegenteil–vieleVektoren,denenmanimtäglichenLeben ättenirgendwas

wagens.Achja–dasBeispielzeigt LinearkombinationzweierVektoren–alswiederumInhalteineseinzigenEinkaufs- InhaltihresEinkaufswagensmitdemihrerBekanntenvereinen.DasResultatistdie ¨achlichumeinenVektorhandelt,stellensieschnellfest,wennsieden

¨ubr

igensauch,dassman¨ApfelundBirnensehrwohladdierenkann.Ihnenbleibtnunnurnochherauszufinden,wasmanwohlmitdemVektor~v=4~a1meinenk

¨onn

te(wiew

¨areesdennmit“Apfellieferung”?)... 3

4 .3 U n te rv e k to rr a um

HatmaneineTeilmengeUeinesVektorraumsV,kannmandieElementevonUzwaraddierenundmitreellenZahlenmultiplizieren,aberesistnichtgarantiert,dassmit~u,~w2Uauch~u+~w2U.Teilmengenf¨urdiedasgarantiertist,verdienen

3WerschondenBegi↵desDualraumskennt,identifizierthierschnelldiePreislistedesSu-permarktesmiteinerLinearform!,unddieAntwort!(~v)w

entrichten.Klaro–wennSiefelliefern,kriegenSiedaf¨Ap ¨aredannanderKasseinEurozu

¨ureinpaarEuro.

(8)

80Vektor

besondereBeachtung,etwainFormeiner

Definition(Untervektorraum):SeiVeinK-Vektorraum.EineTeilmengeU⇢VdefinierteinenUntervektorraumvonV,wenn(1)U6=;,und(2)f¨uralle~u,~w2Uundalle2Kgilt~u+~w2U,~u2U.

EinUntervektorraumUistalsoselbsteinVektorraum.Insbesonderesind{~o}undVselbstUntervektorr

¨aume

vonV.

EinelineareH

¨ulle L(~v1,...,~vk),beispielsweise,isteinUntervektorraumvonV,undmansagt,dasTupel~v1,...,~vkseieinErzeugendensystemdiesesUntervektorraums.SinddieVektoreneinesErzeugendensystemlinearunabh

¨ang

ig,konstituierdasSys-temeineBasisderlinearenH

¨ulle

.

SindUundWUntervektorr

¨aume

vonV,soistauchderDurchschnittU\WUn-tervektorraumvonV(wer’snichtglaubt:Beweisals¨Ubungsaufgabe!).DieVereini-gungsmengeU[WzweierUntervektorr

¨aume

U,Wisti.A.keinUntervektorraum,wohlaberdieSumme

U+W:={~u+~w|~u2U,~w2W}⇢V.(4.10)

Untervektorr

¨aume

desVektorraumsR 3,beispielsweise,kannmansichinFormderGeradenundEbenendurchdenUrsprungveranschaulichen.

(9)

4.4Aufgaben81

4 .4 A uf g a b e n

.Aufgabe4-1

ZeigenSie,dassesineinemVektorraumstetsnureinenNullvektorgibt.

.Aufgabe4-2

ZeigenSie,dassesineinemVektorraumzujedem~vstetsnurein~vgibt.

.Aufgabe4-3

DieAbbildungzeigtf¨unfKr¨afte,dieaneinemPunktPangreifen.BestimmenSie(1)zeichnerisch,(2)arithmetischdieGegenkraft,dien

¨otigist,umPnRuhezuhalten.

.Aufgabe4-4

BeweisenSiedenEindeutigkeitssatzderVektoralgebra:IstB:=(~b1,...,~bn)eineBasisvonV,danngibteszujedem~v2Vgenauein(1,...,n)2R nsodass

~v=1 ~b1+···+n ~bn.(4.11)

(10)

82Vektor

Bemerkung1:UmdieBestimmtheitderidurchdenVektor~vauszudr

iimanstattgernev(bzw.vindemvonunsbevorzugtenRicci-Kalk i ¨ucken,schreibt

¨ul) ,undnenntdiev idieKomponentenvon~v(obwohlessicheigentlichumKoordinatenhandelt.KomponentensindselberVektoren–einVektorhatKomponenten–unddiev isindschlichtZahlenundkeineVektoren.Naja–soistdashaltmitdenFachsprachen.Diesindauchnichtimmerkonsistent.)

Bemerkung2:AngesichtsdeshierbewiesenenBefundessindallen-dimensionalenreellenVektorr

¨aume

risomorphdemVektorraumR n.Oder–nochpr

eigentlichgibtesnureinenn-dimensionalenreellenVektorraum,unddasistderR. n ¨agnanter–

.Aufgabe4-5

DieAbbildungzeigteinenVektor~vundeineBasisB={~b1,~b2}.Best¨atigenSiezeichnerischdieVektorkoordinatenv 1= 53 ,v 2= 23 von~vinderBasisB.

.Aufgabe4-6

(a)EntscheidenSie,obdiefolgendendreiVektorenlinearunabh

¨ang

igoderlinear

(11)

4.4Aufgaben83

abh

¨ang

igsind:

a= 0@ 123 1A,b= 0@ 321 1A,c= 0@ 234 1A.(4.12)

(b)UndwiesiehtesmitfolgendendreiVektorenaus:

a= 0@ 123 1A,b= 0@ 321 1A,c= 0@ 342 1A.(4.13)

(12)

84Vektor