K a pi te l 1

(1)

K a pi te l 1

A ri thm e ti k

ArithmetikistdieLehrevondenZahlenundihrenVerkn

¨upf

ungen.Vergessen,wasZahlensindundwasmanmitdenenallessomachenkann?Machtnichts.Diefol-gendenAbschnittesindalskleineErinnerungshilfegedacht. DereinhundertdreiundzwanzigsteNachfolgerderNullimdekadischenSystem(Zi↵ernderGrundperiode0,1,2,...,9)

1·10 2+2·10 1+3·10 0=123(1.1)

undimdyadischernSystem(Zi↵ernderGrundperiode0,1)

1·2 6+1·2 5+1·2 4+1·2 3+0·2 2

+1·2 1+1·2 0=1111011(1.2)

undimHexadezimalsystem(Zi↵ernderGrundperiode0,1,...,9,A,B,C,D,E,F)

7·16 1+B·16 0=7B(1.3)

Ach

¨ubrige

ns–verwechselnSiebittenichtZahlmitZi↵er.EineZahlisteinma-thematischenDing,dessenEigenschaftenineinemAxiomensystemoder

¨ahnlic

hemfestgelegtwerden.EineSymbolsequenzwie123istzun

Addition,das seZi↵erf¨urdeneinhundertdreiundzwanzigstenNachfolgerdesNeutralelementsder (arabisch:sifr).ImDezimalsystem,auchgenanntdasdekadischeSystem,stehtdie- ¨achstlediglicheineZi↵er

¨ublic

herweisemit0bezeichnetwird.ImdyadischenSystem,auchge-nanntdualesSystem,w

¨are

dieseZahldurchdieZi↵er1111011dargestellt,worin0wiegehabtdieZi↵erf¨urdasNeutralelementderAddition,und1dieZi↵erf¨urdenNachfolgervon0.MankannalsoZahlenganzunterschiedlichdarstellen.Sofernnichtausdr

dargestelltwobeiwirf¨urdiesog.GrundperiodeunseresSystemsdiearabischenZif- ¨ucklichvermerkt,werdenZahlenindieserVorlesungimDezimalsystem

cMartinWilkens2316.November2019

(2)

24Arithmetik

fern0,1,2,3,4,5,6,7,8,9verwenden,wobei1derNachfolgervon0,2derNachfolgervon1,...,9derNachfolgervon8.DerNachfolgervon9–dieZahl9+1–wirdmitderZi↵er10bezeichnet,derNachfolgervon99mitderZi↵er100undsoweiter.Allesklar?Nadannmallos...

1 .1 D ie ra ti o na le n Z a hl e n und di e A x io m e de s K

¨orp

ers

WaseineMengeistweißmaneigentlichschon.IndenWortenvonGeorgCantor: a“EineMengeisteineZusammenfassungbestimm-terwohlunterschiedenerObjekteunsererAn-schauungoderunseresDenkens–welchedieElementederMengegenanntwerden–zuei-nemGanzen.”DieZugeh

sagt“aistElementvonM”.Geh azueinerMengeMnotiertmana2Mund ¨origkeiteinesDinges

WeitereAusf zuMschreibtmana/2M. ¨ortanicht

MengenlehrefindetsichimAnhang. ¨uhrungenzudenBegri↵ender

azitiertnachJ

än ichLineareAlgebra,S.2 SchonfrühhabenSie–unddieMenschheit–mitdenZahlen1,2,3,...gelerntzuzählen.AbererstMittedes19JhdtshatunsdieMathematikeinenpräzisenBegri↵dieserZahlengeliefert.Demnachhandeltessichbei1,2,3,...umElementeeinergewissenMengeN,diedadurchcharakterisiertist,dassjedesElementvonNeinenundnureinenNachfolgerinNhat,und–mitAusnahmeeinesausgezeichneten“Startelements”–selberNachfolgergenaueinenElementsist.DiesobestimmteMengenenntmandieMengedernat

¨urlic

henZahlen,h

¨aufig

notiertinderForm 1

N={1,2,3,...}.(1.4)

Statt

¨uberdasAbz¨ahlenk

¨onnen

nat

¨urlic

heZahlenauch

Birneusw),und2fürdieKollektionderjenigenMengen,diezweiElementehaben Mengen,diegenaueinElementhaben(alsoKorbmiteinemApfel,Korbmiteiner mungvonMengeneingeführtwerden.Demnachsteht1fürdieKollektionaller überdieGrößenbestim-

1ZuweilenwirdNunterEinbeziehungder“Null”definiert,unddiein(1.4)angegebenenMen-gewirdmitN ⇤bezeichnet.WirbleibenbeiunsererBezeichnung,undnotieren–sofernn

0dieMenge{0,1,2,3,...}mitdemSymbolN.DerGrundf ötig– neAbzählzahl,undimAnhangwerdendienat ürunserenStarrsinn:dieNullistkei-

¨urlichenZahlenaxiomatisch

¨ub

erdieKunstdesAbz¨ahlenseingef¨uhrt.

16.November201924cMartinWilkens

(3)

1.1DierationalenZahlenunddieAxiomedesK

¨orp

ers25

usw.DieAbz

¨ahlzahlen

nenntmanindiesemZusammenhangOrdinalzahlen,die“Mengengr

¨oßenzahlen”

nenntmanKardinalzahlen. 2 DasProduktdernat

zueinergegebenenZahlnk ¨urlichenZahlenvon1bis

Notationab, ¨urztmaninder

n!=1·2·3···n(1.5)

genanntn-Fakult¨at,undvereinbart0!:=1.DieFakult

¨at

spielteinegroßeRolleindersog.Kombinatorik.DieZahln!istgenaudieZahlderM

¨ogl

ichkeiten,nverschiedeneObjekteineinerReiheanzuordnen(¨aquivalent:DieZahln!istdieAnzahlderPermutationennver-schiedenerElemente).Kombinatorischauchbedeutsamdiesog.Bi-nomialkoeffizienten✓nk ◆:= n(n1)...(nk+1)k! ⌘ n!k!(nk)! .(1.6)DieZahl nkistgenaudieAnzahlderk-elementigenTeilmengeneinernichtleerenMengemitnElementen(Beweis:¨Ubung).Manbeachte,dassessichtrotzdesBruch-strichsbeieinemBinomialkoeffizientenimmerumeinenat

¨urlicheZahlhandelt. Mitnat

sonderelassensichzweinat ürlichenZahlenlässtsichabernichtnurzählen,sondernauchrechnen.Insbe-

¨urlic

heZahlenaddierenodermultiplizieren,ohnedabeidenZahlbereichdernat

¨urlic

henZahlenzuverlassen.DieIhnenvertrauteSubtrak-tionistallerdingsnichtf¨urallenat

¨urlic

henZahlenerkl

¨art

–wasw

¨are

denndieZahl“EinsvermindertumZwei”?Hierhilfteinesog.Zahlbereichserweiterungdernat

¨urlic

henZahlenzudenganzenZahlenweiter,h

¨aufig

notiert

Z:={0,1,1,2,2,3,3,...}.(1.7)

AlsneueSpielertretenhierdieNullunddienegativenZahlen(dassinddiemitdemvorangestelltenSymbol,lies“minus”)inErscheinung.DieNullisteinedergenialstenErfindungenderMenschheit, 3dienegativenZahlenwarenbisinDescartesZeitenschlichteinUnding–mankonntesichunterihnennichtsrechtesvorstellen.

InderMengederganzenZahlenkannnunauchsubtrahiertwerden,ohneausderMengezufliegen.AllerdingsistDivisionnachwievornureingeschr¨anktm

¨oglic

h–wasw

¨are

denn“ZweigeteiltdurchDrei”?

UmhierweiterzukommenwirddieMengederganzenZahlenzurMengederra-

2TretenzueinemWettlaufdreiTeilnehmeran,n

¨am

lichAdelheid,BertaundCarl,k

¨on

ntenbeispielsweiseBertaalsErste,CarlalsZweiter,undAdelheidalsDritteinsZielkommen.Die“drei”imletztenSatzbezeichnetdanndenUmfangderTeilnehmermenge,w

w ¨arealsoeineKardinalzahl,

¨ah

rend“Erster”,“Zweiter”und“Dritter”alsOrdinalzahlenfungieren.HabenalleTeilnehmerdasZielerreicht,w

¨arealsodieTeilnehmermengemitHilfederOrdinalzahlenstruktuiert,st

¨unde

mitVergabedesPr¨adiakts“dieDritte”damitauchdieGesamtzahlderTeilnehmerfest(n

¨am

lich“drei”).Kurz:endlicheOrdinalzahlenundKardinalzahlend

TitelDieGeschichtederNull(Campus2001)eineziemlichbräsigeersetzungdesOriginaltitels.Üb WunderbardasBuchTheNothingThatIsvonRobertKaplan(Penguin1999),derdeutsche3 ürfengetrostidentifiziertwerden.

(4)

26Arithmetik

tionalenZahlenerweitert,

Q:= ⇢pq |p,q2Z,q6=0.(1.8)

ImSinnederPythagor

¨aer

isteinerationaleZahlnichtsanderesalseineProportion–dasVerh

¨altnis

zweierkommensurablerStrecken,alsodasVerh

¨altnis

zweierStrecken,dieeingemeinsamesMaßaufweisen.W

¨ahltmanalsMaßbeispielsweise“D

¨odel”,

soverhieltensichzweiD

¨odel

zuvierzehnD

¨odel

wieeinD

¨odel

zusiebenD

¨odel.

Inderheutzutagegebr

¨auc

hlichenNotation 17 = 214 –kurz 17 und 214 repr

¨asen

tierendiegleicherationaleZahl.VerallgemeinertschautmanhieraufdieK

¨urzungsregel

Abb1.1Addition–thePythagoreenstyle(viaParallelverschiebung). k·pk·q = pq ,(1.9)

vonrechtsnachlinksgelesengenanntErweiterungsregel.DieZahlp

¨ub

erdemBruchstrichnenntmandenZ

¨ah

ler,dieZahlqunterdemBruchstrichdenNennerdesBruchs pq .EinenBruchderForm 1q nenntmaneinenStammbruch.EinenBruchderForm p1 identifiziertmanmitderZahlp,also p1 =p,unddasbedeutet,dassdieganzenZahleneineTeilmengederrationalenZahlen,N⇢Z⇢Q.(1.10)

IndenrationalenZahlenstehenallevierGrundrechenartenuneingeschr

¨ankt

zurVerf

lensindinderBruchdarstellungdefiniert(p,q,r,ssindganzZahlen) ¨ugung.Addition,Subtraktion,MultiplikationundDivisionvonrationalenZah-

Abb1.2Multiplikation–thePythago-reenstyle(viaStrahlens

¨atze).

pq ± rs := p·s±r·qq·s (1.11)

pq · rs := p·rq·s ,(1.12)

pq ÷ rs := p·sq·r ,(1.13)

(5)

1.1DierationalenZahlenunddieAxiomedesK

¨orp

ers27

wobeiwirhier–wieimFolgenden–stillschweigendvoraussetzen,dassdieNennerungleichNull.DerK

¨urz

ungsregelseiDanksinddieDefinitionenunabh

¨angig

vomjeweiligenRepr¨asentanten,sollheißenstattpundqd

¨urf

ensiehierauchk·pundk·qsowien·rundn·sverwenden,ohnedieG

¨ultigk

eitzubeeintr

¨achtigen.

EinZahlbereichf¨urdenallevierGrundrechenartenuneingeschr

¨ankt

zurVerf

¨ugung

stehen,istausmathematischerSichteinDingvomTyp“K

¨orp

er”.

Definition“K

¨orper”:EinK

¨orperbestehtauseinerMengeKundzweiVerkn

¨upf

un-gen+:K⇥K!K(a,b)7!a+b (1.14)

und·:K⇥K!K(a,b)7!a·b (1.15)

diefolgendenAxiomengen

¨uge

n

1.(a+b)+c=a+(b+c)

2.a+b=b+a

3.EsgibteinElement02Kmita+0=af¨urallea2K

4.Zujedema2KgibteseinElementa2Kmita+(a)=0.

5.(a·b)·c=a·(b·c)

6.a·b=b·a

7.EsgibteinElement12K,16=0,mit1·a=af¨urallea2K.

8.Zujedema2K,a6=0,gibteseina 12Kmita 1·a=1.

9.a·(b+c)=a·b+a·c

(6)

28Arithmetik

Zugegebenermaßenetwasbarock–abersoistdashalt,wennmaneinsom

WerkzeugwiedieArithmetikeinfangenwill... ¨achtiges

Sie

¨ub

erzegensichineinerstillenMinute,dassdierationalenZahlenmitdenin(1.11–1.13)angegebenenRechenvorschriftendenK

¨orp

eraxiomengen

¨uge

n.Mansprichtdaherauchgernevom“K

¨orp

erderrationalenZahlen”.Dienat

¨urlic

henZah-lenoderdieganzenZahlenbildenkeinenK

¨orp

er–schließlichkannmaninihnennichtuneigeschr¨anktdividieren(“ageteiltdurchb”wirdinK

¨orp

erspracheausge-dr

¨uckt“amalb”). 1

Abb1.3Wiemandiepositivenrationa-lenZahlenabz

¨ahlt.

AuchwennSieesnichtglaubenwollen–dierationalenZahlensindabz¨ahlbar.Esgibtn

¨amlic

heineBijektionN!Q–einUmstand,aufdenCantorerstmalshingewiesenhat.Sied

¨urf

endasauchsolesen:esgibtgenausovielenat

¨urlic

heZahlenwieesrationaleZahlengibt–n

¨amlic

h@0(Aleph-Null,AlephistdasersteGlyphimHebr¨aischenAlphabet),dieKardinalzahlvonN(undQ).Hatteichschonerw

¨ahn

t,dassesgenausovielegeradeZahlengibtwieesnat

¨urlic

heZahlengibt?GenausovieleganzeZahlen?UngeradeZahlen?Zahlendiedurch17teilbarsind?

LeidersindnichtalleZahlen,dieSieausderSchulekennen,rational.ImGegenteil–diemeistensindirrational.EinbeliebtesBeispieleinerirrationalenZahlistdieZahl p2,dieL

Gleichung ¨angederDiagonalenimEinheitsquadratbzw.diepositiveWurzelder

x 22=0.(1.16)

DerBeweis,dass p2nichtrational,isteinKlassiker.ErfindetsichschoneinEuklids“Elemente”.SeialsoaeinerationaleZahlmita 2=2.DanngibtesganzeZahlen

pundq>0,ohnegemeinsamenTeiler,sodassa= pqmit ⇣pq ⌘2= p2

q2=2bzw.p 2=2·q 2.Folglichp 2einegeradeZahl,somitpeinergeradeZahl,p=2·r,woreineganzeZahl,undq 2=2·r 2.EntsprechendauchqeinegeradeZahl,somitp,qnichtteilerfremd,imWiderspruchzurAnnahmen.qed

(7)

1.2DiereellenZahlen29

1 .2 D ie re e lle n Z a hl e n

NunistdieZahl p2istzwarnichtrational,istabermiteinemZirkelaufderZah-lengeradedurchausgeometrischkonstruierbar.AndereZahlen,wiebeispielsweise⇡sindauchnichtrational,undsindnochnichteinmalgeometrischkonstruierbar 4

MitBlickaufdieZahlengeradesagtman,Qseidichtaberunvollst

¨andig.

Die“Dicht-heit”solldabeibedeuten,dasszwischenzweiverschiedenenrationalenZahlenaundbbeliebigvieleandererationaleZahlenliegen,undm

¨ogen

diebeidenZahlenaundbaufderZahlengeradennochsoengbeieinanderliegen.ZumBeweisnehmemandocheinfachzweiverschiedenerationaleZahlenaundb,undbestimmederenMittelc= 12 (a+b).DieZahlcistnun(1)auchrational,(2)liegtzwischenaundb,undist(3)wedergleichanochgleichb.NunbestimmemandasMittelvon,sagenwiraundc,odercundb,undmacheimmersoweiter.Undweil“immersoweiterma-chen”keinEndefindet,befindensichzwischenzweiverschiedenenrationalenZahlenbeliebigviele(dasisth

¨oflic

hf¨ur“unendlichviele”)andererationaleZahlen.

Unvollst¨andigkeitbedeutet,dassesFolgenrationalerZahlengibt,diezwarinsichkonvergieren,derenLimesabereineirrationaleZahl.MeinLieblingsbeispielindie-semZusammenhangdieFolgean:=1+ 1n n.F

¨ur

jedesn2Nistaneinera-tionaleZahl,aberderGrenzwert–Eulerse–istirrational,gartranszendent,limn!1an=e/2Q.DaSieFolgenaber“offiziell”(d.h.imRahmendiesesKur-ses)nochgarnichtkennen,d

¨urf

enSiedasBeispielauchgleichwiedervergessen,m

sind. üssenmirdannabereinfachglauben,dassdierationalenZahlennichtvollständig w HatmanGlück,undxistselberrational,so r,sangebenmitrxsundsr<✏. fürjedes✏>0lassensichrationaleZahlen Zahlenbeliebiggenauschachteln,sollheißen JedereelleZahlxlässtsichmitrationalen

¨ah

lemandocheinfachr=s=x,undfertigistdieLaube.Andernfallsfangemandochein-fachbeiirgendzweirationalenZahlenrundsan,diexumfassen.ManbestimmedanndenMittelpunktt= 12(r+s)(aucheinerationaleZahl!),undschauenach,obxinderlinkenH

¨alftelokalisiertist,oderinderrechtenH

te.Istxinderlinken(rechten)H ¨alf-

kleineristalsdievorgegebenenGenauigkeit✏. s(tanstellevonr).Sof¨ahrtmanfort,bissr siert,wiederholemandasganzemittanstelle ¨alftelokali-

4Achtung:derKreisumfangeineKreisesmitEinheitsdurchmesserbetr¨agtzwar⇡,aberdieses⇡l¨asstsichalsGeradenst

¨uckmitZirkelundLinealnichtkonstruieren.Nat

¨urlic

hk

¨on

nenSieeineKreisscheibeaufderZahlengeradenabrollenlassen–womitSiew

liegt–aberdasisthaltkeinegeometrischesonderneinephysikalischeKonstruktion. ¨ussten,woungef¨ahrdieZahl⇡

(8)

30Arithmetik

Vervollst¨andigtwerdendierationalenZahlendurcheineZahlbereichserweiterungindenreellenZahlenR.DieErweiterungistetwasverwickelt,undwirddaheraufdieErg

¨anzungen

verschoben.Dortlerntmandann,dasssichdiereellenZahlenalskleinsteobereSchrankevonnachobenbeschr

¨ankten

TeilmengenderrationalenZahlendefinierenlassen. 5F

¨ur

unsereZweckereichtesaus,wennSiesichunterdenreellenZahlendiePunkteaufderZahlengeradevorstellen(Mathematikertundasauch,auchwennsiedasoffiziellnichtgernezugeben).NeueRechenregelnm

SiebeimUmgangmitdenreellenZahlen ¨ussen

Verf rationalenZahlenstehenauchfürdiereellenZahlenallevierGrundrechenartenzur übrigensnichtlernen.Wieschonfürdie

¨ugung,

undesgeltendieRechenregelen,dieIhnenausderElementarmathematikvertrautsind.Kurz:auchdiereellenZahlengen

¨uge

ndenK

¨orp

eraxiomen. EinenAusdruckderForma<b,wieaucheinenAusdruckderFormabnenntman

regelnunsch mitUngleichungenleistenfolgendeGrund- ¨ubrigenseineUngleichung.BeimUmgang

ungen):¨Ub ¨atzbareDienste(Beweisinden

•F

¨urallea,b,c2Ristab

¨aq

uivalenta+cb+c.

•BeiderMultiplikationmussmanmitdemVorzeichnenetwasaufpassen.Nurwenncpositivistab

¨aq

uivalentc·ac·b.Isthingegencnegativ,istab

¨aq

uivalentc·bc·a.

1 .2 .1 A rc hi m e di sc he O rdn ung

¨UberihreK

¨orp

erhaftigkeithinaushabenreelleZahleneinewichtigeEigenschaft,diedieweiterunteneinzuf

¨uhre

ndenkomplexenZahlennichtaufweisen:sielassensichanordnen.DemnachheißteinereelleZahlagenaudannkleinergleicheinerreellenZahlb,notiertab,wennbanichtnegativ.DieRelationerf¨ulltdieKriterieneinerOrdnungsrelation:sieist1.reflexiv,dennaa,2.antisymmetrisch,dennwennabundba,danngilta=b,und3.transitiv,dennwennabundbc,danngiltac.DieOrdnungisttotal,auchgenanntlinear,dennf

¨ur

jedesbeliebigePaarrellerZahlenl¨asstsichentscheiden,oba<b,b<aodera=b,undsieistarchimedisch:zujezweireellenZahlen0<x<ygibteseinenat

¨urlic

heZahlnsodassy<nx.DieArchimedischeOrdnungdarfmanauchlesen“esgibtkeineunendlichkleinenZahlen”,unddasganzenunzusammengefasst:diereellenZahlenbildeneinenvollst¨andigen,archimedischgeordnetenK

¨orp

er. WichtigeTeilmengenderreellenZahlensinddieIntervalle.Manunterscheidetdaso↵eneIntervall]a,b[:={x|a<x<b},dasabge-schlosseneIntervall[a,b]:={x|axb},daslinksseitighalbo↵eneIntervall]a,b]:={x|a<xb},unddasrechtsseitighalbo↵eneIntervall[a,b[:={x|ax<b}.Nurimabge-schlossenenIntervallfindetsicheinkleinstesundeingr

¨oßt

esElement,tre↵endgenanntMi-nimumundMaximum.InallenanderenInter-vallenfehltentwederdaseine,oderdasande-reodergarbeide.DieIntervallgrenzenlassensichdannmitdemSupremumbzwInfimumidentifizieren.

5Alternativals¨AquivalenzklassenvonCauchy-Folgen,oderals¨AquivalenzklassenvonIntervall-

(9)

1.2DiereellenZahlen31

1.2.2 Betrag

Desweiterenl¨asstsichsinnvoll

¨ub

erdieabsoluteGrößeeinerreellenZahlunddenAbstandzweierrellenZahlenaundbreden.EinMaßfürdieabsoluteGrößeeinerreellenZahlxvermitteltihrAbsolutbetrag,

|x|:= ⇢xfallsx0xfallsx<0 (1.17)

undderAbstandzweierrationalerZahlena,bwirderkl¨art|ab|.F

¨ur

✏0heißenrationaleZahlenxmit|ax|<✏“ausder✏-Umgebungvona”.AbsolutbetragundAbstandgestattenGr¨oßen-bzw.Entfernungsvergleiche,dieinsbesonderef¨urdieAnalysisvongroßerBedeutungsind.

HatmannuneineGleichunga=b,soistselbstverst¨andlichauch|a|=|b|.Allerdingsl¨aßtsichauseinerGleichung|a|=|b|nichtschließen,dassaundbgleich,sondernledigleicha=±balsKurzformderAussage“(a=b)_(a=b).”F

¨ur

dasProdukta·bgilt|a·b|=|a|·|b|.F

¨ur

dieSummea+bgiltallerdingskeineswegsimmer|a+b|=|a|+|b|,denkenSienurana=bmita6=0,dannw

¨are

doch|a+b|=|aa|=|0|=06=2·|a|.Vielmehr

||a||b|||a+b||a|+|b|(1.18)

Beweis:¨Ubungen... DasSignumeinerZahlistdefiniert

Sgn(a)= 8<

: +1fallsa>00fallsa=01fallsa<0 (1.19)

O↵ensichtlich|a|=a·sgn(a).Angesichtssgn(a·b)=sgn(a)·sgn(b)ist|a·b|=a·b·sgn(a·b)=a·sgn(a)·b·sgn(b)=|a|·|b|.

1 .2 .3 P o te nz und W ur ze ln

BeimRumrechnenmitZahlenst

¨oßt

manh

¨aufig

aufTermederFormx noderx 1n,genanntdien-tePotenzvonxbzw.dien-teWurzelvonx.

schachtelungenrationalerIntervalle.

(10)

32Arithmetik

Definition(Potenz):SeiaElementeinesK

¨orp

ersK;dannistdiePotenza nf¨urganze,nicht-negativeZahlenn0rekursivdefiniert,

a 0:=1,a n+1:=a·a n(n0)(1.20)

Soferna6=0seif¨urderhin

a n:=(a 1) n⌘ 1an .(1.21)

DieDefinitionbedeutet,dassf¨urjedeZahla6=0derWertvona pf¨urbeliebigeganzeZahlenp2Zbestimmtist.Wegen“Minus-Mal-Minus-ist-Plus”gilt

(1) p= ⇢+1f¨urpgeradeZahl1f

¨ur

pungeradeZahl (1.22)

AußerdemgeltendieRechenregeln

a p·a q=a p+q(1.23)(a p) q=a p·q(1.24)a p·b p=(a·b) p(1.25)

fürnicht-negativenganzenZahlenp,qund,fallsaundbvon0verschiedensind,füralleganzenZahlenp,q.Manbeachte,dassesfürdasProdukta p·b qkeineeinfacheRechenregelgibt.Ach

immerbeweisbed ¨ubrigens–Sieerinnernsichsicherlich,dassRechenregeln

¨urftigsind,bevormansieimAlltagbenutzt.... schenSatz zientverdankenihrenNamendemBinomi- DieinGl.(1.6)eingef¨uhrtenBinomialkoeffi-

(a+b) n=a n+ ✓n1 ◆a n1b+ ✓n2 ◆a n2b 2

+···+ ✓nn1 ◆ab n1+b n

= nX

k=0 ✓nk ◆a kb nk(1.26)

denSieinden¨Ubungenbeweisen.Vorausset-zungf¨urdenBinomischenSatzistlediglich,dassaundbauseinenK

cherK ¨orperstammen.Wel-

erheblich. komplexeZahlen)dasimeinzelnenist,istun- ¨orper(rationaleZahlen,reelleZahlen,

DieGleichungx n=x nisteineBanalit

¨at,

¨ub

erdiezuredennichtweiterlohnt.DierechteSeiteisteineZahl,nennenwirsiea.DieBanalit

¨at

erscheintjetztinderFormx n=a,undwirdf¨urgegebenesazurFrage:welcheZahlenxsindes,derenjeweiligen-tePotenzdieZahlaliefern?DieMehrzahlformisthiermitBedachtgew¨halt:Sei

(11)

1.3Aufgaben33

n¨amlic

hf¨urngeradeeineZahlx0L

¨osung

derGleichungx n=a,alsox n0=a,dannistwegen()auchx0⌘1·x0eineL

¨osung!

Istallerdingsnungerade,entf

¨allt

dieseM

¨oglic

hkeit:dasVorzeichenvonx0istindiesemFalledurchdasVorzeichenvonabereitsbestimmt.

L¨osungen

derGleichungx n=aheißenWurzelnvona.F

¨ur

nicht-negativeadefiniert

a 1n(1.27)

diesog.positiveWurzelderGleichungx n=a.DieNotationrespektiert(),denn(a 1n) n=a n·1n=a nn=a 1=a.

SofernneineungeradeZahlistdiepositiveWurzeldieeinzigeWurzelvonx n=a>0.SofernneingeradeZahl,sinddiepositiveWurzelunddienegativeWurzel(a) 1nWurzelnvonx n=a.ImFallenegativera,alsoa<0,istdieGleichungx n=anurf¨urungeradenl¨osbar,miteindeutigbestimmterWurzel(a) 1n.

1 .3 A uf g a b e n

.Aufgabe1-1(⇡Punkte)

GehenSieaneineKreidetafelundskizzierenSiefreih

sog.Zahlengerade(L ¨andig(ohneHilfsmittel!)die

¨ange

ca150cm.Warum?).VergessenSienicht,anzugebenwo0und1liegen,evtl.auchandereZahlenwie2/3,17/13odergar⇡unde.KannmanIhreSkizzeauchentzi↵ern,wennmanganzhintensitzt?

.Aufgabe1-2

Bez

¨uglichAdditionundMultiplikationzweierUngleichungengeltenfolgendeS

¨atze,

(12)

34Arithmetik

diewirSiebittenzubeweisen:Wennabundc<d,danna+c<b+dWennabundcd,danna+cb+dWenn0a<bund0c<d,danna·c<b·dWenn0abund0cd,danna·cb·d (1.28)

.Aufgabe1-3

BeweisenSie||a||b|||a+b||a|+|b|(1.29)

.Aufgabe1-4(5Punkte)

BeweisenSie:“DieAnzahlallerm

istn!.” ¨oglichenAnordnungennverschiedenerElemente

.Aufgabe1-5(6Punkte)

Sieerinnernsich–nebenderFakult

¨at

st¨oßt

maninderKombinatorikh

¨aufig

aufBinomialkoeffizienten,✓nk ◆:= n(n1)...(nk+1)k! ⌘ n!k!(nk)! .(1.30)

(a)ZeigenSie:dieAnzahlderk-elementigenTeilmengeneinernichtleerenMengemitnElementenistimFalle0<kngegeben nk .(b)SeinenNamenverdanktderBinomialkoeffizientdemBinomischenSatz

(a+b) n=a n+ ✓n1 ◆a n1b+ ✓n2 ◆a n2b 2+···+ ✓nn1 ◆a 1b n1+b n⌘ nX

k=0 ✓nk ◆a kb nk

(1.31)

(13)

1.3Aufgaben35

denwirSiebittenzubeweisen.

Binomialkoeffizientennotiertmanzuweilenineinemsog.Pascal’schenDreieck.Schau-enSiemalirgendwonach...

.Aufgabe1-6

F¨ur

dieBinomialkoeffizientenbeweisemandieRekursionsformel✓n+1k+1 ◆= ✓nk ◆+ ✓nk+1 ◆(1.32)

.Aufgabe1-7(6aus49)

WiegroßistdieW’keit,6RichtigebeimLotto“6aus49”zutippen?

.Aufgabe1-8(Fermistatistik)

DieGrundaufgabederFermistatistiklautet:AufnZellensollenknichtunterscheid-barerTeilchensoverteiltwerden,dassjedeZelleh

¨ochstenseinTeilchenenth

¨alt.

Manzeige,dasseshiergenau nk verschiedeneVerteilungengibt.

.Aufgabe1-9(Bose-EinsteinStatistik)

DieGrundaufgabederBose-EinsteinStatistiklautet:AufnZellensollenknichtunterscheidbareTeilchenverteiltwerden,wobeijedeZellebeliebigvieleTeilchenaufnehmenkann.Manzeige,dasseshiergenau n+k1kverschiedeneVerteilungengibt.

(14)

36Arithmetik