K a pi te l 3

(1)

K a pi te l 3

Ve k to r

Schl

¨agtmaneinbeliebigesPhysikbuchaufst

Impuls,KraftuswbishinzumnotorischenOrtsvektor,derdiePositioneinesK “Vektor”.GeschwindigkeitisteinVektor,BeschleunigungisteinVektor,aberauch ¨oßtmanunweigerlichaufdenBegri↵

¨orp

ersrelativzueinemBezugspunktangibt. 1Gem

¨aß

BerkleyPhysikKurs,Band1,sindsolche“Newton’schenVektoren”durchBetragundRichtungcharakterisiert,wassichwunderbardurchPfeileveranschaulichenl¨aßt,dieimRaumfreiverschiebbarsind–denkenSienurandasKr

¨afteparallelogramm,

dasSieinderSchulekennenge-lernthaben.IndemZusammenhangerinnernSiesichauch,dasssichKr¨afteaddierenlassen–bildlich:aneinanderh

streckenoderstauchen–ohnedenRaumderKraftvektorenzuverlassen. ¨angen–undmitZahlenmalnehmenlassen–bildlich:

Nebendenerw

MengeandererGr ¨ahntenNewton’schenVektorengibtesinderPhysikabernochein

¨oßendieunterdieKategorie“Vektor”fallen.AuchdieWellenfunk-

1DerOrtsvektoristeigentlichkeinVektor(mankannOrtenichtaddieren).Vektoriellistallen-fallsdieVerschiebung,diedenBezugspunktOindenPositionspunktPverschiebt.

cMartinWilkens4516.November2019

(2)

46Vektor

tionenderQuantenmechanik,beispielsweise,lassensichaddierenundmitZahlenmultiplizierenohnedenRaumderWellenfunktionenzuverlassen.EinenPfeilwirdmansoeinerWellenfunktionschwerlichzuweisenwollen.Trotzdem–ausmathema-tischerSichthandeltessichauchbeidenWellenfunktionenderQuantenmechanikumVektoren.

3 .1 V e k to rr a um

WichtigeDingesolltemanaucheinmalanst

¨andigdefinieren.Hieralso

Definition:SeiKeinK

¨orp

er.EinK-VektorraumisteineMengeVaufdereineAbbildungVektoraddition

+:V⇥V!V(~u,~v)7!~u+~v (3.1)

undeineAbbildungSkalarmultiplikation 2

K⇥V!V(,~v)7!~v (3.2)

gegebensind,diedenfolgenden8Axiomengen

¨uge

n:

1.(~u+~v)+~w=~u+(~v+~w)f

¨ur

alle~u,~v,~w2V.

2.~u+~v=~v+~uf¨uralle~u,~v2V.

3.EsgibteinausgezeichnetesElement~o2V,genannt“Nullvektor”,mit~v+~o=~vf¨uralle~v2V.

2DerFunktorf¨urdieSkalarmultiplikationbleibthiernamenlos.

16.November201946cMartinWilkens

(3)

3.1Vektorraum47

4.Zujedem~v2VgibteseinElement~v2Vmit~v+(~v)=~o.

5.(µ~v)=(µ)~vf¨uralle,µ2Kund~v2V.

6.1~v=~vf¨uralle~v2V.

7.(~v+~u)=~v+~uf¨uralle2Kund~v,~u2V.

8.(+µ)~v=~v+µ~vf¨uralle,µ2Kund~v2V.

Außerdemvereinbarenwir~v:=~vf¨uralle2Kund~v2V.

F¨urdiePhysikvonbesonderemInteressesindreelleundkomplexeVektorr

¨aume,

alsoK=RoderK=C.Die2KnenntmanauchSkalaredesVektorraums,dieMengeVauchdieGrundmenge,dieVektoradditionundSkalarmultiplikationnenntmanVektoroperationenundeinenAusdruck~v+µ~unenntmaneineLi-nearkombination.PedantischnotiertmaneinenVektorraumalsTripel(V,K,+),redetzuweilenvoneinemVektorraum

beimNamenderGrundmengeV. ¨uberK,ruftdasTripelabermeisteinfach

Abb3.1IllustrationderSkalarmultipli-kationundInversion. HatmaneineTeilmengeUeinesVektorraumsV,kannmandieElementevonUzwaraddierenundmitreellenZahlenmultiplizieren,aberesistnichtgarantiert,dassmit~u,~w2Uauch~u+~w2U.Teilmengenf¨urdiedasgarantiertist,verdienenbesondereBeachtung,etwainFormeiner

Definition(Untervektorraum):SeiVeinK-Vektorraum.EineTeilmengeU⇢VdefinierteinenUntervektorraumvonV,wenn(1)U6=;,und(2)f

¨ur

alle~u,~w2Uundalle2Kgilt~u+~w2U,~u2U.

EinUntervektorraumUistalsoselbsteinVektorraum.Insbesonderesind{~o}undVselbstUntervektorr

¨aume

vonV.

(4)

48Vektor

SindUundWUntervektorr

¨aume

vonV,soistauchderDurchschnittU\WUn-tervektorraumvonV.AllerdngsistdieVereinigungsmengeU[WzweierUntervek-torr

¨aume

U,Wi.A.keinUntervektorraum(wer’snichtglaubt:Beweisals¨Ubungs-aufgabe!).

Abb3.2AdditionzweierVektorenundIl-lustraiondesKommutativgesetzes. HatmaneinSystemvonVektoren~v1,~v2,...,~vk2VnenntmandieMengeallerLinearkombinationenL(~v1,...,~vk):={1~v1+...+k~vk|i2R}dielineareH

desSystems.SoeinelineareH ¨ulle

linearunabh 1kdiesesUntervektorraums.DieVektorendesErzeugendensystems~v,...,~vheißen 12kvonV,undmansagtdasSystem~v,~v,...,~v2VseieinErzeugendensystem ¨ulleisto↵ensichtlichimmeraucheinUntervektorraum

¨an

gig,wenninderDarstellungdesNullvektors1~v1+···+n~vk=~onotwendigalleSkalaregleichNull;andernfallsheißensielinearabh

¨an

gig.

Abb3.3DarstellungeinesVektors~vineinerBasis{~b1,~b2}.ImBeispielist~v=53 ~b1+ 23 ~b2,alsov 1= 53 ,v 2= 23 . EinSystem~b1,...,~bnkonstituierteineBasisvonV,notiert{~b1,...,~bn},wenndas(1)Systemlinearunabh

¨angig,

und(2)wennjederVektorvonValsLinearkombi-nationder~b1,...,~bndargestelltwerdenkann.DieZahlderVektorenineinerBasisistf¨uralleBaseneinesVektorraumsdieGleiche,unddefiniertdieDimensiondesVektorraums.DieDarstellungeinesVektors~vineinerBasis{~b1,...,~bn}notiertman

~v=~b1v 1+~b2v 2+···+~b nv n= X

i ~biv i=:~biv i(3.3)

wobeiganzrechtsdieEinsteinscheSummenkonventioneingef

¨uhrt

wurde:“

¨ub

erdoppeltauftretende,schr

¨ag

gestellteIndiceswirdsummiert.” 3

3UnterleichterSprachverdrehungnenntmanvidiei-teKomponentevon~v(obwohlessicheigentlichumeineKoordinatenhandelt).BeidemvonunsfavorisiertenRicci-Kalk¨ulwerdenBa-sisvektorenmiteinemnachuntengestelltenIndexabgez¨ahlt,KoordinatenmiteinemnachobengestelltenIndex.InvielenLehrb

weiteruntennochgebraucht–StichwortDualraum. zulesen.WirbleibenhieraberbeiderHochstellung.TiefgestellteIndicesanKoordinatenwerden kommensiedochnichtinVersuchung,diei-teKoordinatealsi-tePotenzvonv,“vau-hoch-iih”, inenachuntengestellt,undmanschreibtdannvstattv.DasistinbesonderefürNovizenhilfreich, i üchernwirdderAbzählindexibeidenKoordinatenallerdingsger-

(5)

3.1Vektorraum49

ZumAbschlussdiesesAbschnitts,nocheinpaarBeispiele:

Beispiel1(Zahlenspalten):DerR nistdieMengeallern-TupelreellerZahlen.Soeinn-TupelnotierenwirjetztmalalsSpalte(notiertmitUnterstrich)

x= 0BBB@ x 1x 2...x n 1CCCA (3.4)

wobeiindemvonunsfavorisiertenRicci-Kalk

¨ul

mitx iwiegesagteinebestimmteZahlinderi-teZeiledesSpaltentupelsgemeintist,undnichtetwa“icks-hoch-i”.Jetztvereinbarenwirnoch,wieSpaltenzuaddierensind,0

B@ x 1...x n 1CA+ 0B@ y 1...y n 1CA= 0B@ x 1+y 1...x n+y n 1CA,(3.5)

undwiemanSpaltenmiteinerreellenZahlmultipliziert,0

B@ x 1...x n 1CA= 0B@ x 1...x n 1CA.(3.6)

Rechenoperationenf¨urZahlenspaltensinddamitaufRechenoperationenmitgew

¨ohn-

lichenZahlenzur

gen ückgeführt.Undsieheda–diehiereingeführtenRechenoperationen

¨uge

ndenVektroraumaxiomen!Kurz:ZahlenspaltenbildeneinenVektorraum–denVektorraumR n.

(6)

50Vektor

EinebeliebtBasisdesR nbildendieVektoren

e1:= 0BBBBB@ 100...0 1CCCCCA ,e2:= 0BBBBB@ 010...0 1CCCCCA ,...,en:= 0BBBBB@ 000...1 1CCCCCA ,(3.7)

genanntdiekanonischeBasis.DieZahlderBasisvektorenistn–derR nisteinn-dimensionalerVektorraum.

VonprominenterBedeutungderR 3–inihmfindendieGeschwindigkeit,dieBe-schleunigung,dieKraftundandereGr

¨oßenderNewton’schenPhysikihrnat

¨urlic

hesHabitat.ImR 4die4-erVektorenderRelativit

¨atstheorie,

undimC 2diequanten-mechanischenZust¨andeeinesSpin- 12 Freiheitsgrades.Untervektorr¨aume

desVektor-raumsR 3,beispielsweise,kannmansichinFormderGeradenundEbenendurchdenUrsprungveranschaulichen.

[DieNotationmitdemUnterstrichfürdieZahlenspaltenvektoren--undebennichtmitdemPfeilaufdemKopf--solldaranerinnern,dasswirinderPhysikmitdenZahlenspaltenvektorenimmerVektorenbezüglicheinerirgendwiegewähltenBasisbezeichnen.EinZahlenspaltenvektoristebennichtderGeschwindigkeitsvektor,sondernlediglichDarstellereinessolchen.AndereBasis--andererDarsteller.]

Beispiel2(Funktionen):EineK-wertigeFunktionaufeinerMengeX,daranseierinnert,istjanichtanderesalseineAbbildungX!K.SeibeispielsweiseFdieMengeallerK-wertigenFunktionenaufdemIntervallX=[1,1],alsoF={f|f:[1,1]!K}.MitderVerabredung

(f+g)(x):=f(x)+g(x)(3.8)(f)(x):=f(x)(3.9)

(7)

3.1Vektorraum51

f¨urallex2[1,1]sindAdditionvonFunktionenundSkalarmultiplikationpunkt-weiseerkl¨art.Man

prinzipderQuantenmechanikseinemathematischeFormulierung. f(x)heißtdortWellenfunktion,undmit(3.8)und(3.9)findetdasSuperpositions- beispielsweiseinderQuantenmechanikdes“TeilchensinderKiste”.EineFunktion isteinunendlichdimensionalerVektorraum.VektorendiesenTypsbegegnenIhnen sichindiesemKontext).EineendlicheBasisl¨asstsichhiernichtangeben–derF vonF,d.h.auch(F,K,+)istK-Vektorraum(PfeilchenaufdemKopferspartman ¨uberzeugtsich,dassmitf,g2Fauchf+gundfElement

Beispiel3(ImSupermarkt)GlaubenSienicht,alleVektorenh

ätten irgendwasmitPhysikzutun.ImGegenteil–vieleVektoren,denenmanimtäglichenLebenbegegnetkommenganzohnePhysik.GehenSiebeispielsweiseeinkaufen,undla-deninihrenWagenvierÄpfel,dreiBirnenundeinenViertelLiterSahne–schonhabensieeinenVektor.DennmitderVerabredung~a1=Apfel,~a2=Birneund~a3=LiterSahneliestsichihrEinkaufswagen~v=4~a1+3~a2+ 14 ~a3.UnddassessichhiertatsächlichumeinenVektorhandelt,stellensieschnellfest,wennsiedenInhaltihresEinkaufswagensmitdemihrerBekanntenvereinen.DasResultatistdieLinearkombinationzweierVektoren–alswiederumInhalteineseinzigenEinkaufs-wagens.Achja–dasBeispielzeigt

¨ubrige

nsauch,dassman¨ApfelundBirnensehrwohladdierenkann.Ihnenbleibtnunnurnochherauszufinden,wasmanwohlmitdemVektor~v=4~a1meinenk¨onn

te(wiew

¨areesdennmit“Apfellieferung”?)... 4

4WerschondenBegi↵desDualraumskennt,identifizierthierschnelldiePreislistedesSu-permarktesmiteinerLinearform!,unddieAntwort!(~v)w

entrichten.Klaro–wennSiefelliefern,kriegenSiedaf¨Ap ¨aredannanderKasseinEurozu

¨ureinpaarEuro.

(8)

52Vektor

3.2 Norm (L

¨a ng e ) .. .

Pfeilek

¨onnen

unterschiedlicheL

¨angen

aufweisen.DermathematischeL

¨angen

begri↵vonVektorenistderBegri↵derNorm,undsoistsiedefiniert:

Defintion:SeiVreellerVektorraum.EineAbbildungk·k:V!RisteineNorminVgenaudannwenn

(1)k~vk0wobeik~vk=0nurgenaudann,wenn~v=o.

(2)k~vk=||k~vk

(3)k~u+~vkk~uk+k~vk

EinVektor~vmitk~vk=1heißtEinheitsvektor.IsteinVektorraumVmiteinerNormk·kversehen,sagtmanVseieinnormierterVektorraum,notiert(V,k·k).EinnormierterVektorraumistimmeraucheinmetrischerRaum:diemitd(~u,~v):=k~u~vkdefinierteAbbildunggen

(desVektorraumsV)induziereeinMetrik(aufderGrundmengeV). ¨ugtdenAxiomeneinerMetrik!Mansagt,dieNorm VomBegri↵der“L

¨an

ge”(einesPfeils,einesWeges)istderBegri↵des“Abstands”(zweierPunkte)zuunterscheiden:

Definition:SeiMeineMenge.EineAbbil-dungd:M⇥M!RisteineMetrikinM,genaudannwenn

(Met1)d(x,y)0f

(Met4)d(x,y)+d(y,z)d(x,z) (Met3)d(x,y)=d(y,x) y (Met2)d(x,y)=0genaudann,wennx= ¨urallex,y2M

Mannenntd(x,y)auchdenAbstandderbei-denPunktex,y2M,entsprechenddeineAbstandsfunktion.IstaufeinerMengeMei-neMetrikdeingef¨uhrt,sagtmanMseieinMetrischerRaum,zuweilennotiert(M,d).DieAxiome(1)–(3)kodierendenintuitivenAbstandsbegri↵:Abst

¨an

desindpositiv(nie-mandw

immerkleinergleichderSummederAbst AbstandjezweierPunkteeinesDreiecksist nenntmanauchDreiecksungleichung:der AbstandvonBerlinundPotsdam.Axiom(4) vonPotsdamundBerlinistdergleichewieder PotsdamundPotsdamistNull,derAbstand Meilen”verstehen),derAbstandzwischen BerlinundPotsdambetr¨agtMinus-Sieben- ¨urdedieAussage“DerAbstandvon

¨an

dederbeidenPunktezumdrittenPunkt. DerNormeinesVektorsentsprichtdieL

schenGeometrie,undL ¨angeseinerPfeildarstellunginderEuklidi- Strecken(oderStauchen)bedeutetnach(2)verl ¨angensindpositiv,wasin(1)zumAusdruckgebrachtwird.

¨angern

bzw.verk

istdieElementarweisheitf¨ureinDreieckausgedr ¨urzen.Undin(3)

¨uckt,dassn

¨amlic

himDreieckjedeSeitek

¨urz

eralsdieSummederL

¨angen

derbeidenanderenSeiten.

Beispiel:DerVektorraum(!)R nistmit

kxk= p(x1)2+(x2)2+···+(xn)2(3.10)

einnormierterVektorraum(Beweis:¨Ubung).

(9)

3.3...undSkalarprodukt(Winkel)53

3 .3 .. .und Sk a la rpr o duk t (Wi nk e l)

Definition:SeiVreellerVektorraum.EineAbbildungg:V⇥V!RdefinierteinSkalarproduktgenaudannwenn

(1)g(~u,1~v1+2~v2)=1g(~u,~v1)+2g(~u,~v2)undg(1~u1+2~u2,~v)=1g(~u1,~v)+

2g(~u2,~v)(gistbilinear)

(2)g(~u,~v)=g(~v,~u)(gistsymmterisch)

(3)g(~u,~v)0undg(~v,~v)=0nurf¨ur~v=o(gistnichtausgeartet)

Isteinreeller(!)VektorraummiteinemSkalarproduktversehen,redetmanvoneinemEuklidischenVektorraum,pedantischnotiert(V,g).Stattg(~u,~v)notiertmandasSkalarproduktvon~uund~vauchgerneh~u,~vi,odernochk

¨urz

er~u·~v.Wirbenutzen–sofernnichtandersgesagt–diePunktnotation.

DasSkalarproduktinkomplexenVektorr

¨aumen

gen

¨ugt

mitesch(stattsymmetrisch),undsesqulinear(stattblinear). derBezeichnungunitärerVektorraum,undmansagt,dasSkalarproduktseiHer- Konjugation).EinkomplexerVektorraummitSkalarproduktfirmiertauchunter 12112212chendg(~u+~u,~v)=g(~u,~v)+g(~u,~v)(dasSternchenbedeutetKomplex- ⇤⇤ und(3)unverändert,(2)wirdersetztdurchg(~u,~v)=g(~v,~u),und(1b)entspre- ⇤ ähnlichenAxiomen:(1a)

DieAbbildung~v7! p~v·~vgen

¨ugtdenNormaxiomen,daherist

k~vk:= p~v·~v.(3.11)eineNormf¨ur(V,·).

AusderElementargeometrieistIhnenderSatzdesPythagorasvertraut:ineinemrechtwinkligenDreieckistdasQuadrat

¨uberderHypothenusegleichderSummeder

(10)

54Vektor

Quadrate

ichnochrichtigbezeichnen). c=a+b+2abcos(')worin'derdurchaundbgegebenenAußenwinkel(?muss 222 ¨uberdenbeidenKatheten,c=a+b.EinKorellaristderKosinussatz: 222

Abb3.4GeometrsicheDeutungdesSka-larproduktsimKosinussatz. k~u+~vk 2=(~u+~v)·(~u+~v)(3.12)=~u·~u+~v·~v+~u·~v+~v·~u(3.13)=k~uk 2+k~vk 2+2~u·~v(3.14)

VergleichmitdemKosinussatzderGeometrie

~u·~v=:k~ukk~vkcos'(3.15)

worin'dervon~uund~vgebildeteWinkel.EntsprechendheißenzweiVektoren~u,~vorthogonal,wennihrSkalarproduktgleichNull,~u·~v=0.

HatmaneinenVektor~u,l

¨asst

sichjederandereVektor~vzerlegen~v=~vk+~v?,worin~v?senkrechtauf~u,und~vkVielfachesvon~u,genauer~vk= ~u·~vk~uk2~u,und~v?=~v~vk.DieZerlegungisteindeutig.

DieDarstellungeinesVektorsineinemEuklidischenVektorraumerfolgtmeistensbez¨uglicheinersogOrthonormalbasis,d.h.einerBasis{~e1,...,~en}mit

~ei·~ej=ij:= ⇢1f

¨ur

i=j0f

¨ur

i6=j (3.16)

Seiennun~vund~uzweiVektoren,nachderOrthonormalbasisentwickelt~v=~eiv i

und~u=~eiu i,erh

¨alt

manf¨urihrSkalarprodukt

~u·~v= nX

i=1 ~eiv i !· nX

j=1 ~ejv j !

= X

ij v iu j(~ei·~ej|{z}=ij )

=v 1u 1+v 2u 2+···+v nu n.(3.17)

(11)

3.4Kreuzprodukt(Fl¨ache)...55

bzw.mitEinstein’scherSummenkonventionkurzundb

¨undig

~u·~v=iju iv j.WasIhnenihrinFormderijbegegnetistdieEuklidischeMetrik–genauer:dieKom-ponentenderEuklidischenMetrikineinerOrthormalbasis.

3 .4 K re uzpr o duk t (F l¨a che ) .. .

Geometrischbestimmenzweilinearunabh

¨angige

VektorenimEuklidischenVektor-raumeinParallelogrammimEuklidischenPunktraum.MitfderFl

mensionalen(!!)EuklidischenVektorraumV'Rdefiniert 3 diesesParallelogrammsistdasKreuzproduktderbeidenVektorenineinemdreidi- ¨acheninhalt

~a⇥~b=f~e,f=absin'(3.18)

worin~ederjeinigeEinheitsvektor,dersenkrechtauf~aaund~bstehtundzusammenmit~a,~beinsog.Rechtssystembildet(mitderrechtenHanddenZeigefingerRich-tung~a,denMittelfingerRichtung~b,denDaumenRichtung~c=~a⇥~b). 5

Abb3.5GeometrsicheDeutungdesKreuzprodukts. DieAuszeichnungeinesRechtssystems(anstelleeinesLinkssystems)ist

¨aquiv

alentderEntscheidungf¨ureinevonzweim

¨oglic

henOrientierungeneinesFl

¨achenst

OhneOrientierungk ¨ucks.

¨onn

tenSiezweiverschiedeneVektoren~eund~eangeben,diebeideaufdergegebenenFl

¨achesenkrechtstehen.

Dasswirhier

~a⇥b=b⇥~a(3.19)~~ antisymmetrisch Kreuzproduktnichtkommutativ,sondernanti-kommutativ,zuweilenauchgenannt ¨uberhaupteineAlternativehaben,bedeutetmathematisch,dassdas

5Inh

¨oh

erdimensionalnVektorr¨aumenistdasorthogonaleKompl¨amentzweierVektorennichtein-sondernmehrdimensional.

(12)

56Vektor

unddaswiederumbedeutet~a⇥~a=~o,(3.20)

dennder~o-VektoristdereinzigeVektorf¨urdengilt~o=~o.

DasKreuzproduktistdistributiv

~a⇥(~b+~c)=~a⇥~b+~a⇥~c(3.21)

abernichtassoziativ,

~a⇥(~b⇥~c)=~b(~a·~c)~c(~a·~b),(3.22)

genanntEntwicklungssatz,denmansichvielleichtals“bac-cab”Regeleinpr¨agt.MitHilfedesEntwicklungssatzes()undderAntikommutativit

¨at

()beweistmannunschnelldiesog.Jacobi-Identit

¨at

~a⇥(~b⇥~c)+~b⇥(~c⇥~a)+~c⇥(~a⇥~b)=0.(3.23)

DasKreuzproduktwurdebislangreingeometrischformuliert,d.h.ohneBezugaufeinkonkretesVektorraum-Koordinatensystem,ohneBezugaufeineBasis.BeidenmeistenAnwendungeninderPhysiksindVektorenaber

¨ub

erihreKomponentenineinerirgendwiegew

123ijijeineOrthonormalbasisB=(~e,~e,~e),worinnunneben~e·~e=diezus ¨ahltenBasisgegeben.UnddiebeliebtesteBasisinderPhysikist

¨atzlic

heFestlegung~e1⇥~e2=~e3,~e2⇥~e3=~e1,~e3⇥~e1=~e2(3.24)

denVektorraumL(~e1,~e2,~e3)mitOrientierung:=+1orientiert. 6

6MitdieserFestlegungw

Wert1. DeterminantedesVektrorraumendomorphismus,diedenBasiswechselB7!Bvermittelt,hatden0 213¨arebeispielsweisedieBasisB=(~e,~e,~e)negativorientiert:die0

(13)

3.5...undSpatprodukt(Volumen)57

DasKreuzproduktzweierVektoren~a,~bistdann

3X

i=1 ~eia i !⇥ 3X

j=1 ~ejb j !

= X

ij a ib j~ei⇥~ej

=a 1b 1~e1⇥~e1+a 1b 2~e1⇥~e2+...+a 3b 2~e3⇥~e2+a 3b 3~e3⇥~e3=~e1a 2b 3a 3b 2~e2a 1b 3a 3b 1+~e3a 1b 2a 2b 1(3.25)

bzw.inSpaltenvektornotation0

@ a 1

a 2

a 3 1A⇥ 0@ b 1b 2

b 3 1A= 0@ a 2b 3a 3b 2

a 3b 1a 1b 3

a 1b 2a 2b 1 1A.(3.26)

Abb3.6GeometrsicheDeutungdesSpat-produkts.

3 .5 .. .und Spa tpr o duk t (V o lum e n)

DreiVektoren~a,~b,~cdefiniereneinParallelepipedSpat(~a,~b,~c),wenigerzungenbre-cherischgenanntSpat.DerSpatisteingeometrischerK

¨orp

er,dessenVolumenVolgegebenist“Grundfl

¨achefmalH

¨ohe

h”,kurzVol=fh.WelcheSeite(engl.face)dabeials“Grundfl

¨ache”fungiertistganzbeliebig,wirw

¨ahlen

dievon~b,~cgebildeteFl

¨ache.Grundfl

¨acheistdannf=kb⇥~ck.“H~

¨ohe”

istdieProjektionvon~aaufdenFl

“H f¨achennormaleneinheitsvektor,h=~a·,wobeiderBetraggarantiert,dass b⇥~c~

¨ohe”

nichtnegativ.DasVolumendesSpatsistdemnachgegeben

Vol[Spat(~a,~b,~c)]=~a·(~b⇥~c).(3.27)

DashierauftretendegemischteProdukt~a·(~b⇥~c)nenntmanausnaheliegendenGr

¨unde

ndasSpatprodukt.DasSpatproduktadditivundhomogeninjedemFak-

(14)

58Vektor

tor,beispielsweise

~a·((~b+~v)⇥~c)=~a·(~b⇥~c)+~a·(~v⇥~c)(additiv)(3.28)

~a·((~b)⇥~c)=(~a·(~b⇥~c))(homogen)(3.29)

undalternierendunterVertauschungzweierbeliebigerFaktoren,etwa

~a·(~c⇥~b)=~a·(~b⇥~c)=~b·(~a⇥~c)(3.30)

Alternierendbesagt,dasssichuntereinemAustauschzweierKantenvektorenzwardiealgebraischeOrientierungdesSpats

¨andert,

seinVolumendavonaberun-ber¨uhrtbleibt.DiealgebraischeOrientierungkenntzweiWerte+1oder1,entspre-chenddemphysikalischen“Rechtssystem”oder“Linkssystem”.DadasSpatproduktalternierendisthateinSpatmitzweilinearabh

¨angigen

KantenvektorendasVolumeNull,beispielsweise~a·(~a⇥~b)=0.(3.31)

Homogenit

¨at

besagt,dasswenneinspannenderKantenvektormiteinenFaktorgestrecktbzw.gestauchtwird,sichdasSpatvolumenmiteinenentsprechendenFak-tor

¨andert.

Linearit

scherinvariantist,etwa ¨atundAntisymmetrieimplizieren,dassdasVolumeneinesSpats

(~a+~b)·(~b⇥~c)=~a·(~b⇥~c).(3.32)

Im

¨ubrige

nbedeutetBeliebigkeitderWahlderGrundfl

¨ache

(~a⇥~b)·~c=(~b⇥~c)·~a=(~c⇥~a)·~b.(3.33)

DenAusdruckf¨urdasSpatprodukt~u·(~v⇥~w)erh

¨ahlt

man,indeminGl.(3.25)die~eidurchu iersetztwerden,

~u·(~v⇥~w)=a 1b 2c 3b 3c 2a 2b 1c 3b 3c 1+a 3b 1c 2b 2c 1(3.34)

(15)

3.5...undSpatprodukt(Volumen)59

DasSpatproduktl¨asstsichauchmittelsdersog.Determinanteausdr

¨ucken,

~u·(~v⇥~w)=det(~a,~b,~c)⌘det 0@ a 1b 1c 1

a 2b 2c 2

a 3b 3c 3 1A(3.35)

Das3⇥3rechteckigeZahlenschemanenntmaneineMatrix.WiesichdieDeter-minanteeinersolchen3⇥3-Matrixberechnet,l¨aßtsichaus(3.34)ablesen.WasMatrizenundDeterminatengenausind,wirdindenn

¨achstenVorlesungengekl

¨art.

(16)

60Vektor

3 .6 A uf g a b e n

.Aufgabe3-1

ZeigenSie,dassesineinemVektorraumstetsnureinenNullvektorgibt.

.Aufgabe3-2

ZeigenSie,dassesineinemVektorraumzujedem~vstetsnurein~vgibt.

.Aufgabe3-3

DieAbbildungzeigtf¨unfKr¨afte,dieaneinemPunktPangreifen.BestimmenSie(1)zeichnerisch,(2)arithmetischdieGegenkraft,dien

¨otig

ist,umPnRuhezuhalten.

.Aufgabe3-4

BeweisenSiedenEindeutigkeitssatzderVektoralgebra:IstB:=(~b1,...,~bn)eineBasisvonV,danngibteszujedem~v2Vgenauein(1,...,n)2R nsodass

~v=1 ~b1+···+n ~bn.(3.36)

(17)

3.6Aufgaben61

Bemerkung1:UmdieBestimmtheitderidurchdenVektor~vauszudr

iimanstattgernev(bzw.vindemvonunsbevorzugtenRicci-Kalk i ¨ucken,schreibt

Diesindauchnichtimmerkonsistent.) schlichtZahlenundkeineVektoren.Naja–soistdashaltmitdenFachsprachen. KomponentensindselberVektoren–einVektorhatKomponenten–unddievsind i dievdieKomponentenvon~v(obwohlessicheigentlichumKoordinatenhandelt. i ¨ul),undnennt

Bemerkung2:AngesichtsdeshierbewiesenenBefundessindallen-dimensionalenreellenVektorr

¨aumer

isomorphdemVektorraumR n.Oder–nochpr¨agnanter–eigentlichgibtesnureinenn-dimensionalenreellenVektorraum,unddasistderR n.

.Aufgabe3-5

DieAbbildungzeigteinenVektor~vundeineBasisB={~b1,~b2}.Best¨atigenSiezeichnerischdieVektorkoordinatenv 1= 53 ,v 2= 23 von~vinderBasisB.

.Aufgabe3-6

(a)EntscheidenSie,obdiefolgendendreiVektorenlinearunabh

¨angig

oderlinear

(18)

62Vektor

abh

¨angig

sind:

a= 0@ 123 1A,b= 0@ 321 1A,c= 0@ 234 1A.(3.37)

(b)UndwiesiehtesmitfolgendendreiVektorenaus:

a= 0@ 123 1A,b= 0@ 321 1A,c= 0@ 342 1A.(3.38)

.Aufgabe3-7

ManbestimmedieNormderVektoren

a= 0@ 112 1A,b= 0@ 345 1A(3.39)

ihrSkalarproduktunddenWinkel,densiebilden.

.Aufgabe3-8

GegebendreiVektoren(vgl.Aufgabe3-6)

~a= 0@ 123 1A,~b= 0@ 321 1A,~c= 0@ 342 1A.(3.40)

BerechnenSiedieSkalarprodukte~a·~b~a·~c,~b·~c,dieKreuzprodukte~a⇥~b,~a⇥~c,~b⇥~cunddasSpatprodukt~a·(~b⇥~c).

(19)

3.6Aufgaben63

.Aufgabe3-9

GegebendreiVektoren

~a= 0@ 123 1A,~b= 0@ 321 1A,~c= 0@ 234 1A.(3.41)

BerechnenSiedasSpatprodukt.Hinweis:InAufgabe3-6habenSieschongezeigt,dassdiesedreiVektorenlinearabh

¨angig.

M¨us

senSiedasSpatproduktalsowirklichausrechnen,oderk

¨onnen

SiedieAntwortgleichhinschreiben?

.Aufgabe3-10

Esseien~b1,...,~bnBasisvektoreneinesn-dimensionalenEuklidischenVektorraums.Zeigensie,dassdieimErhardSchmidt’schenOrthonormalisierungsverfahrenge-bildetenVektoren~e1,...,~en

~e1:= 1k~b1k ~b1,~ei:= ~bi Pi1k=1(~ek·~bi)~ek~bi Pi1k=1(~ek·~bi)~ek ,i=2,...,n.(3.42)

eineOrthonormalbasisvonV,alsoeineVektorraumbasismit~ei·~ej=ij.

.Aufgabe3-11

MittelsErhard-Schmidt’schemOrthogonalisierungsverfahrenerzeugemanaus

a= 0@ 123 1A,b= 0@ 321 1A,c= 0@ 342 1A.(3.43)

eineOrthonormalbasis.

(20)

64Vektor

.Aufgabe3-12

UntereinemOrtsvektor~xverstehtmaneinenVektor,dessenSchaftineinembeson-derenPunkt,dem“Ursprung”Obefestigtist,unddessenSpitzeeinenRaumpunktPbezeichnet.W

¨ahlt

maneineOrthonormalbasis~ei,fungierendieKomponentenx 1,x 2,x 3desOrtsvektors~x=~eix ialskartesischeKoordinatenvonP.Dabeizeigt~e1vereinbarungsgem

stattdesverwirrendenx,x,x. 123 3~einRichtungderZ-Achse.DieKomponentenvon~xschreibtmandannauchx,y,z 2¨aßinRichtungderX-Achse,~einRichtungderY-Achse,und

HatmannuneineVektorgleichung,beispielsweise~x·~e3=0,bestimmenderenL

¨osungen

eingeometrischesObjekt.ImFalle~x·~e3=0sindalleOrtvektoren~xL

¨osung, diesenkrechtauf~e3stehen.DassindaberallediejenigenOrtsvektoren,derenZ-KomponentegleichNull,unddieEndpunktedieserVektorenbildeneineEbene,dieXY-Ebene!

(a)WelchesgeometrischeObjektwirddurchdieGleichung|~x|=1bestimmt?

(b)WelchesgeometrischeObjektwirddurchdieGleichung|~x~x0|=Rbestimmt,wobei~x0festerOrtsvektorundReinfestesSkalar?

(c)WelchesgeometrischeObjektwirddurchdieGleichung~x·~e=0bestimmt,wobei~efesterEinheitsvektor?

(d)WelchesgeometrischeObjektwirddurchdieGleichung~x⇥~a=~b⇥~abestimmt,wobei~aund~bfesteVekoren?Hinweis:EigentlichsinddasdreiGleichungen.Warum?

(e)¨UberzeugenSiesichdavon,dassmit~x·~k=k 2f¨urfestes~kundk=|~k|derBetragvon~kdieEbenesenkrechtzu~kimAbstandkvomUrsprungausgezeichnetist.

(21)

3.6Aufgaben65

DerDuckeinerSchallwellekanninderFormp(~x,t)=p0+f(~k·~x!t)angegebenwerden,worinfirgendeine“sch

¨one”Funktion(nichtunbedingtSinusoderCosinus).

(f)BestimmenSiedieOrteandenenzueinembestimmtenZeitpunktt0derDruckp0+f(0)herrscht.(g)Wiebewegtsichdasin(f)bestimmtegeometrischeObjekt,undwelchesistgegebenenfallsseineGeschwindigkeit?

Bemerkung:In(f)und(g)begegnetIhneneinwichtigesphysikalischesKonzept–dieebeneWelle.Warumdiewohl“eben”heißt?

(22)

66Vektor