141
4.7
B e d in g te W a h rs c h e in lic h k e it
AugenfarbenbeiV
¨aternundS
¨ohnen(K.Pearson,1900)
VaterhelldunkelSumme
Sohn helldunkel
Summe 471151622 148230378 6193811000 A
B
A=
” Vaterhell¨augig”,B=
...wennwirwissen,dassderVaterhell¨augigist? WiegrossistPhBi? ” Sohnhell¨augig”
1424.7
cAllgemein:GegebenΩundP.Wahrsch.f¨urEreignisB?PhBi.Wahrsch.f¨urEreignisB,wennwirnurdieVersuchsergebnisseber
¨ucksichtigen,beideneneinEreignisAeingetretenist?
Ω→AB→A∩BEreignisseinA cerhaltenWahrscheinlichkeitnull.
Bezeichnung:PhB|Ai.
143
Formelso,wiesief¨urrel.H
¨aufigkeitengilt:
PhB|Ai= PhA∩BiPhAi (fallsPhAi6=0)
'
& $
% B
@ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @@
A A A A A A A A A A A A A A A A AA
AΩ
BB BBB BBBBB BBBBBB BBBBBBBB BBBBBB
1444.7
dUmgeformt:
PhA∩Bi=PhAi·PhB|Ai=PhBi·PhA|Bif¨urbeliebigeAundB,auch,fallsPhAi=0.AllgemeinerMultiplikationssatz
Multiplikationssatzf¨urunabh.Ereignissebereitsbehandelt:
PhA∩Bi=PhAi·PhBi
PhB|Ai=PhBif¨urunabh.Ereignissevorrechnen.Interpretation:Asagtnichts
¨uberEintreffenvonB
145.7
eUmgekehrt:
” Unbedingte”W.ausbedingtenausrechnen.
BeispielZwillinge.Ω={Zwillinge}
A:Zwillingspaareineiig.PhAi≈1/4.
B:gleichesGeschlecht.
PhB|Ai=.PhB|A ci=.
PhBi=?
PhBi=PhA∩Bi+PhA c∩Bi
=PhAi·PhB|Ai+PhA ci·PhB|A ci
= 1
4 ·1+ 3
4 · 1
2 = 5
8
146
◦ Ω
1/4 ◦ A
HHHHHHHHHHHHHHHHHH◦ A c3/4 ◦ A∩B1/4
XXXXXXXXXXXXXXXXXX◦ A∩B c
0
◦ A c∩B3/8
XXXXXXXXXXXXXXXXXX◦ A c∩B c3/8 PhAi=PhA|Ωi1/4
PhA ci=PhA c|Ωi 3/4 PhB|Ai1
PhB c|Ai 0
PhB|A ci1/2
PhB c|A ci 1/2 B '&'& $% $%
147 .7
gMehrals2F
Dannistf¨urjedesB k=1 kkjA=Ω,A∩A=∅f¨urk6=j. m S 12mA,A,...,AdisjunkteZerlegungvonΩ ¨alle:SatzvondertotalenWahrscheinlichkeit.
PhBi= mX
k=1 PhAk∩Bi= mX
k=1 PhAki·PhB|Aki.
'
& $
% B
@ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @@
C C C C C C C C C C C C C C C C CC
A1
A2 A3A4A5
1484.7
iNochmalsBaumdiagramm,BeispielZwillinge.DieW.,dasseinZwillingspaareineiigist,seinichtbekannt.Daf
¨ursei
mitverschiedenemGeschlechtbekannt:3/8. ” Bruchteil”vonZwillingspaaren
PhA ci=PhA c∩B ci/PhB c|A ci PhAi=1−PhA ci.
149 .7
kBeispielZwillinge:C:BeideZwillingesindm
PhCi=PhA∩B∩Ci+PhA∩B∩Ci=1/8+3/16=5/16 c ¨annlich.
◦ Ω1 ◦ A1/4 ◦ A∩B1/4 ◦ A∩B∩C1/8
PPPPPPPPPP◦ A∩B∩C c1/8
@@@@@@@@@@◦ A c3/4 ◦ A c∩B3/8 ◦ A c∩B∩C3/16
PPPPPPPPPP◦ A c∩B∩C c3/16 QQQQQQQQQQ◦ A c∩B c3/8 ◦ A c∩B c∩C c3/8 1/4 1 1/21/2
3/41/2
1/2 1/21/2
1
1504.7
lUnabh
¨angigeEreignisse
PhB|Ai= PhA∩BiPhAi = PhAi·PhBiPhAi =PhBi
Beiunabh¨angigenEreignissensinddiebedingtenWahrscheinlichkeitengleichden
” unbedingten”.
151.7
mUnabh
Zusammenhang? ” unabh¨angig:AundBbeeinflussensichnicht”. disjunkt:A∩B=∅.AundBschliessensichaus. ¨angigeunddisjunkteEreignisse
A∩B=∅⇒PhA∩Bi=0aberPhAi·PhBi6=0,fallsPhAi6=0undPhBi6=0
Unabh
(ausserPhAi=0oderPhBi=0) unddisjunktenichtunabh¨angig ¨angigeEreignissesindnichtdisjunkt!
152
4.8
B e d in g te V e rt e ilu n g
aBeispielKarten-ZiehenAnzahl
” Brettchen”X,AnzahlAsseY
A={X=1}={genau1Brettchen}
B={Y≥1}={mindestens1As}
BedingteWahrscheinlichkeit
PhB|Ai=PhY≥1|X=1i
= 2562652 10242652 + 2562652
= 2561280 =0.2
153
BedingteW.f¨urdieAnzahlAsse,gegeben
ersteZeiledurchdieZeilensummedividieren: ” keinBrettchen”:
PhY=0|X=0i= 240380 PhY=1|X=0i= 128380PhY=2|X=0i= 12380
Allgemein:DiebedingtenWahrscheinlichkeiten
PhY=y|X=xi= PhY=yundX=xiPhX=xi
= PhY=yundX=xiPk PhY=kundX=xilegendiebedingteVerteilungvonY,gegebenX=x,fest.
1544.8
cAndere
Bed.VerteilungderAnz.Asse,geg. ” b0edingendeEreignisse”,z.B.{X≥x}.
” mindestenseinBrettchen”:
PhY=0|X≥1i= 20162272 PhY=1|X≥1i= 2562272PhY=2|X≥1i=0
BedingteVerteilungvonX,gegebenX≥x0
PhX=0|X≥1i=0PhX=1|X≥1i= 12802272PhX=2|X≥1i= 9922272
155.8
dVerteilungenausbedingtenVerteilungenbestimmen:
VerteilungderB
f¨urverschiedeneH ¨aumeaufWaldschaden-Klassen
¨ohenstufenseienbekannt.
Y:Waldschaden-Kl.f¨ureinen
” zuf
Verteilung? ¨alligenherausgegriffenenBaum”.
PhY=yi= X
x PhY=yundX=xi
= X
x PhY=y|X=xi·PhX=xi
1564.8
ePaarevonZufallszahlenmitgew
dannZufallszahlyentsprechendderbed.Vert.vonY,geg.x. ZufallszahlxentsprechendderVerteilungvonX, ¨unschtergemeinsamerVert.:
Karten-Beispiel:
z1,darausx1nach
x1= (0,fallsz1≤380/2652=0.14331,falls0.1433<z1≤(380+1280)/2652=0.62602,fallsz1>0.6260.
157
z2,darausy1nach...,jenachdemErgebnisx1:Fallsx1=0ist,verwendetman
y1= (0,fallsz2≤240/3801,falls240/380≤z2≤(240+128)/3802,fallsz2>368/380.Fallsx1=1:y1=0,fallsz2≤1024/1280,sonsty1=1.Fallsx1=2:y2=0,unabh.vonz2.
z1=0.87736
?x1=2
: 0.64760 2z=
?y1=0 z3=0.34951
?x2=1
: 0.92370 4z=
?y2=1 z5=0.09694
?x3=0
: 0.58843 6z=
?y3=0 ...
158
4.9
D e r S a tz v o n B a ye s
aBeispielZwillingeWiegrossistdieW.,dasseingleichgeschlechtlichesZwillingspaareineiigist?
B:gleichgeschlechtig,A:eineiig.
PhA|Bi=(1/4) (1/4+3/8)=2/5.
PhA|Bi= PhAi·PhB|AiPhAi·PhB|Ai+PhA ci·PhB|A ci
= 14 ·1
14 ·1+ 34 · 12 = 25
159
SatzvonBayes:
A1,A2,...,AmdisjunkteZerlegungvonΩ.
PhAk|Bi= PhAk∩BiPhBi = PhAki·PhB|AkiPmj=1 PhAji·PhB|Aji . cAk :
WennBeintrifft,k¨onnenwirneue,bessereR derGleichgeschlechtigkeit. ” Ursachen”f¨urverschiedenebedingteW.
aufdie ¨uckschl¨usse
Die ” Ursachen”ziehen.
zur ” akpriori-Wahrsch.”PhAiwirddurchEintreffenvonB
” ak posteriori-Wahrsch.”PhA|Bi.
1604.9
dBeispieldiagnostischerTest.ELISA-TestaufHIV-Infektion.Infizierte
infiziertentdecktwurde,wirklichVirustr¨agerist? WiegrossistdieW.,dassjemand,derdurchdenTestals AnteilderVirustr¨ager1%. GesundemitW.2%. ¨uberschreitenGrenzwertmitW.90%
161
A1:wirklichinfiziert,A2=A c1 gesund.
B:
” positives”Testresultat(Grenzwert
¨uberschritten).
Testresultat:Grenzwert
tats BB c ¨uberschrittenunterschritten
222infiziertneinAA∩BA∩B c 111¨achlichjaAA∩BA∩B c
162
PhB|A1i=0.9 PhB|A2i=0.02
PhA1i=0.01 PhA2i=0.99
PhA1|Bi= 0.01·0.90.01·0.9+0.99·0.02 = 0.0090.0288 =0.31.
” Positiver”Befund−→wahrscheinlichtrotzdemgesund!
163 .9
eBeispielWetter.IchglaubemitW.2/3,dassdasWettermorgensch¨onwird.Wetterbericht:schlecht.WiesolltesichdadurchmeinesubjektiveW.f¨ursch¨onesWetterver¨andern?
A1:morgensch¨on,B:Wetterberichtschlecht.ErfolgderWetterprognosen:PhB|A1i=1/4,PhB|A2i=4/5.
PhA1|Bi= 23 · 1423 · 14 + 13 · 45 = 513SubjektiveW..
zuaposteriori-Wahrscheinlichkeitenmodifiziert. kSubjektiveapriori-W.f¨urdieAwerdendurchBeob.B ” Bayesianische(Bayes’sche)Statistik”
164
4.10
* W a s is t e in e W a h rs c h e in lic h k e it ?
a(a)DieWahrscheinlichkeit,einePrimzahl(1,2,3oder5)zuw
(d)DieWahrscheinlichkeit,dassein keinLichtmehrzuhaben. keit,mitnureinerGl¨uhbirneinderselbenZeitpl¨otzlich imDunkelnzusitzen,istdasQuadratderWahrscheinlich- (c)DieWahrscheinlichkeit,mit2Gl¨uhbirnennacheinerWeile (b)DieWahrscheinlichkeiteinerKnabengeburtist51.5%. ¨urfeln,ist2/3.
” zuf
¨alligausgew teorbisaufdieErdest (e)DieWahrscheinlichkeit,dassnochindiesemJahreinMe- betr¨agtπ/4. PunkteinesQuadratesimeinbeschriebenenKreisliegt, ¨ahlter”
¨urzt,istkleinerals10. −3
165
(f)Esgibt
(f1)wahrscheinlich
(f2)mitWahrscheinlichkeit9/10keinLebenaufdemMars.(g)MitanSicherheitgrenzenderWahrscheinlichkeitistderAngeklagteschuldig.(h)Wahrscheinlich (h1)werdeichdiePr¨ufungbestehen
(h2)(kurzdanach:)habeichdiePr¨ufungbestanden.(i)Ichwette10:1,dassdieMensamorgenmittagwieder
¨uberf¨ulltist.
1664.10
bEreignisinderZukunftoderEintretenistmirnichtbekannt.Randbedingungenm
QuantitativeroderqualitativerWahrscheinlichkeits-Begriff. ¨ussenklarsein.
cObjektiv,nachpr
¨ufbarvs.subjektiv.
167 .10
d•Laplace:gleichwahrscheinlicheElementar-Ereignisse(Symmetrie).
•GeometrischeW.
•FrequentistischeW.:Grenzwertderrel.H
¨aufigkeit
•Idealisierterel.H
¨aufigkeit
•MathematischesAxiomen-System
•SubjektiveW.,festgelegtdurchWett-Verh¨altnisse
•Erweiterungen:Schrankenf¨urW.undandereBeschreibungendesunvollst¨andigenWissens.
