2. max T ¯ r k`+1,k`+1 ≤ (1 + ε)r k`+1,k`+1 für ein ` = ` max das D ` /D `+1 maximiert. max T ¯ r 2 k`+1,k+1 maximiert r ¯ k`+1,k`+1 2 von [¯ r i,j ] k`−k+1<i,j≤k`+1 :=

(1)

Prof. C. P. Schnorr Sommersemester 2014

Gitter und Kryptographie

Blatt 9, 18.06.2014, Abgabe 25.06.2014

Def. Die Basis B = QR ∈ R ^m×n , n = hk, ist streng primal-dual wenn 1. die R ` von R sind HKZ–Basen für ` = 1, . . . , h und B ist längenredu- ziert,

2. max _T ¯ r _k`+1,k`+1 ≤ (1 + ε)r _k`+1,k`+1 für ein ` = ` _max das D _` /D _`+1 maximiert. max _T ¯ r ² _k`+1,k+1 maximiert r ¯ _k`+1,k`+1 ² von [¯ r _i,j ] k`−k+1<i,j≤k`+1 :=

GNF(R ⁰ _` T) über alle T ∈ GL _k ( Z ). Dabei ist R ⁰ _` = [r _i,j ] k`−k+2≤i,j≤k`+1 .

Aufgabe 1. Zeige dass für jede streng primal–duale Basis gilt D ^1/k _` ≤ (1 + ε)γ _k

_k−1^2k

D _`+1 ^1/k für ` = 1, . . . , h − 1 . Dies ersetzt αγ _k ² in den Schranken für primal–duale Basen durch (1+ε) γ _k

_k−1^2k

. Hinweis: Benutze den Beweis von Satz 6.3.4 (6.7)ff.

Aufgabe 2. Zeige: Alg. 6.3.2 führt höchstens ⁿ ₂₄

²

^h log ^√ _1+ε α Iterationen aus bis D _B ≤ 1 erreicht ist.

Hinweis: Beweis von Satz 6.2.4 Teil 2.

Aufgabe 3: Sei B =



 I _n

a



 ∈ R ^(n+1)×n , a ^t = (a ₁ , . . . , a _n ) ^t ∈ R ⁿ . Zeige:

det B ^t B = 1 + P n i=1 a ² _i .

Hinweis: B ^t B hat die Eigenwerte 1 (n −1)–mal, 1+ P n

i=1 a ² _i zu den Eigenvek- toren (−a ₂ , a ₁ , 0, . . . , 0) ^t , . . . , (a _n , 0, . . . , 0, −a ₁ ) ^t , (a ₁ , a ₂ , . . . , a _n−1 , a _n ) ^t ∈ R ⁿ . det B ^t B ist das Produkt der Eigenwerte von B ^t B.

6 Punkte pro Aufgabe

2. max T ¯ r k`+1,k`+1 ≤ (1 + ε)r k`+1,k`+1 für ein ` = ` max das D ` /D `+1 maximiert. max T ¯ r 2 k`+1,k+1 maximiert r ¯ k`+1,k`+1 2 von [¯ r i,j ] k`−k+1<i,j≤k`+1 :=

Prof. C. P. Schnorr Sommersemester 2014

Gitter und Kryptographie

Blatt 9, 18.06.2014, Abgabe 25.06.2014

Def. Die Basis B = QR ∈ R m×n , n = hk, ist streng primal-dual wenn 1. die R ` von R sind HKZ–Basen für ` = 1, . . . , h und B ist längenredu- ziert,

2. max T ¯ r k`+1,k`+1 ≤ (1 + ε)r k`+1,k`+1 für ein ` = ` max das D ` /D `+1 maximiert. max T ¯ r 2 k`+1,k+1 maximiert r ¯ k`+1,k`+1 2 von [¯ r i,j ] k`−k+1<i,j≤k`+1 :=

GNF(R 0 ` T) über alle T ∈ GL k ( Z ). Dabei ist R 0 ` = [r i,j ] k`−k+2≤i,j≤k`+1 .

Aufgabe 1. Zeige dass für jede streng primal–duale Basis gilt D 1/k ` ≤ (1 + ε)γ k

D `+1 1/k für ` = 1, . . . , h − 1 . Dies ersetzt αγ k 2 in den Schranken für primal–duale Basen durch (1+ε) γ k

. Hinweis: Benutze den Beweis von Satz 6.3.4 (6.7)ff.

Aufgabe 2. Zeige: Alg. 6.3.2 führt höchstens n 24

h log √ 1+ε α Iterationen aus bis D B ≤ 1 erreicht ist.

Hinweis: Beweis von Satz 6.2.4 Teil 2.

Aufgabe 3: Sei B =



 I n

a



 ∈ R (n+1)×n , a t = (a 1 , . . . , a n ) t ∈ R n . Zeige:

det B t B = 1 + P n i=1 a 2 i .

Hinweis: B t B hat die Eigenwerte 1 (n −1)–mal, 1+ P n

i=1 a 2 i zu den Eigenvek- toren (−a 2 , a 1 , 0, . . . , 0) t , . . . , (a n , 0, . . . , 0, −a 1 ) t , (a 1 , a 2 , . . . , a n−1 , a n ) t ∈ R n . det B t B ist das Produkt der Eigenwerte von B t B.

6 Punkte pro Aufgabe

Def. Die Basis B = QR ∈ R ^m×n , n = hk, ist streng primal-dual wenn 1. die R ` von R sind HKZ–Basen für ` = 1, . . . , h und B ist längenredu- ziert,

2. max _T ¯ r _k`+1,k`+1 ≤ (1 + ε)r _k`+1,k`+1 für ein ` = ` _max das D _` /D _`+1 maximiert. max _T ¯ r ² _k`+1,k+1 maximiert r ¯ _k`+1,k`+1 ² von [¯ r _i,j ] k`−k+1<i,j≤k`+1 :=

GNF(R ⁰ _` T) über alle T ∈ GL _k ( Z ). Dabei ist R ⁰ _` = [r _i,j ] k`−k+2≤i,j≤k`+1 .

Aufgabe 1. Zeige dass für jede streng primal–duale Basis gilt D ^1/k _` ≤ (1 + ε)γ _k

D _`+1 ^1/k für ` = 1, . . . , h − 1 . Dies ersetzt αγ _k ² in den Schranken für primal–duale Basen durch (1+ε) γ _k

Aufgabe 2. Zeige: Alg. 6.3.2 führt höchstens ⁿ ₂₄

^h log ^√ _1+ε α Iterationen aus bis D _B ≤ 1 erreicht ist.

 I _n

 ∈ R ^(n+1)×n , a ^t = (a ₁ , . . . , a _n ) ^t ∈ R ⁿ . Zeige:

det B ^t B = 1 + P n i=1 a ² _i .

Hinweis: B ^t B hat die Eigenwerte 1 (n −1)–mal, 1+ P n

i=1 a ² _i zu den Eigenvek- toren (−a ₂ , a ₁ , 0, . . . , 0) ^t , . . . , (a _n , 0, . . . , 0, −a ₁ ) ^t , (a ₁ , a ₂ , . . . , a _n−1 , a _n ) ^t ∈ R ⁿ . det B ^t B ist das Produkt der Eigenwerte von B ^t B.