Prof. Dr. J. Ebert PD Dr. T. Timmermann
Ubung zur Analysis 3¨ Blatt 2
Zusatzaufgabe 5. Sei d∈N, sei U ⊆Rd offen und sei f:U → Rd+1 stetig differen- zierbar. Zeigen Sie:
(a) Im Fall d= 1 ist f¨ur jedes kompakte Intervall [a, b] ⊆U das Bild f([a, b]) ⊆ R2 eine Lebesgue-Nullmenge. Nehmen Sie dazu eine Skizze zur Hilfe.
(b) Auch im allgemeinen Fall ist f¨ur jeden abgeschlossenen W¨urfel Q ⊆ U das Bild f(Q)⊆Rd+1 eine Lebesgue-Nullmenge.
(c) Das Bild f(U) ⊆ Rd+1 ist eine Lebesgue-Nullmenge. Verwenden Sie dazu ohne Beweis, dass eine Folge abgeschlossener W¨urfel Qn⊆U mitS
nQn=U existiert.
L¨osung: (a) Da |f0|stetig und [a, b] kompakt ist, nimmt kf0kauf [a, b] ein Maximum C an. Sei >0 gegeben. SetzeN :=dC(b−a)/e (dλe ist die kleinste Zahl in [0,∞]], die gr¨oßer oder gleichλist), setze
xn:=a+2n−1 2N (b−a)
f¨ur n = 1, . . . , N (das sind die Mittelpunkte von N Teilintervallen von [a, b]) und sei Qn⊆R2 f¨urn= 1, . . . , n der W¨urfel mit Mittelpunkt f(xn) und Kantenl¨ange 2.
Dann liegt das Bild von f([a, b]) in der Vereinigung der W¨urfel Qn: f¨ur jedes x∈[a, b]
existiert einn∈ {1, . . . , N}mit|x−xn< /2C, und auskf0k ≤Cfolgt|f(x)−f(xn)k ≤ /2 und somitf(x)∈Qn.
Somit folgt
µ∗(f([a, b]))≤
N
X
n=1
µ(Qn) =
N
X
n=1
42≤4
1 +C(b−a)
2 = 4C(b−a)+ 42.
Da >0 beliebig war, folgtµ∗(f([a, b])) = 0.
(b) Der Beweis funktioniert ganz ¨ahnlich. Ist Q = Qd
i=1[ai, bi], so zerlegt man jedes Intervall [ai, bi] in Ni := dCd(bi−ai)/e Teilintervalle, somit Q in N := N1 · · · · ·Nd Teilw¨urfel. Seien x1, . . . , xN die Mittelpunkte dieser Teilw¨urfel. Jeder der Teilw¨urfel hat dann Durchmesser kleiner oder gleich p
d·2/(Cd)2, also kleiner oder gleich /C.
Somit gibt es f¨ur jedesx∈Qeinnmitkx−xnk ≤/C. Dann folgtkf(x)−f(xn)k ≤. Sei Qn∈Rd+1 der W¨urfel mit Mittelpunkt xn und Kantenl¨ange 2. Dann ist f(Q) in S
nQn enthalten und somit µ∗(f(Q))≤
N
X
n=1
(2)d+1 =N(2)d+1 ≤
d
Y
i=1
Cdbi−ai
+ 1
(2)d+1.
Da >0 beliebig war, folgtµ∗(f(Q)) = 0.
(c) F¨ur solch eine FolgeQn folgt µ∗(f(U))≤P
nµ∗(f(Qn)) = 0 aus (b).
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