Prof. Dr. J. Ebert PD Dr. T. Timmermann
Ubung zur Analysis 2¨ Blatt 10
Abgabe bis Do, 25.06., 12 Uhr Aufgabe 1 zur Bearbeitung in der ¨Ubung Aufgaben 2-5 zur selbst¨andigen Bearbeitung
Aufgabe 1 Zeigen Sie, dass die Funktion
f: (0,∞)→(0,∞), x7→ x+12 x+ 1,
q-Lipschitz-stetig mitq = 1/2 ist und genau einen Fixpunkt hat. Bestimmen Sie diesen Fixpunkt.
Aufgabe 2 (Das Newton-Verfahren) Seif:R→Reine zweimal stetig differenzierbare Funktion mit einer einfachen Nullstellex∗, alsof(x∗) = 0 und f0(x∗)6= 0. Zeigen Sie:
Liegt der Anfangswert x0 nahe genug bei x∗, so ist f¨ur allen∈N0 der Ausdruck xn+1 :=xn− f(xn)
f0(xn) wohldefiniert und die Folge (xn)n konvergiert gegen x∗.
(Hinweis: Zeigen Sie mit Hilfe des Mittelwertsatzes, dass die FunktionN(x) =x−ff(x)0(x)
auf einer Umgebung vonx∗ wohldefiniert undq-Lipschitz-stetig mitq <1 ist.) Aufgabe 3 SeiF:R3 →R2 gegeben durch
F(x, y1, y2) =
y1+x−ey1+2y2+ ey1+y2+x y1+y2+x+12sin(y1+y2+x)
.
(a) Zeigen Sie, dass das GleichungssystemF(x, y1, y2) = 0 in einer Umgebung des Ur- sprungs (0,0,0)∈R3 nachy1 und y2 aufgel¨ost werden kann, es also eine Funktion
x7→y(x) =
y1(x) y2(x)
mitF(x, y1(x), y2(x)) = 0 f¨urx nahe bei 0 gibt.
(b) Bestimmen Sie die Ableitung der Aufl¨osungx7→y(x) aus (a) an der Stellex= 0.
Aufgabe 4 (a) SeiA∈Matn,neine symmetrische Matrix. Bestimmen Sie alle regul¨aren Werte der Funktion
f:Rn→R, x7→ hAx, xi.
(b) Bestimmen Sie alle regul¨aren Werte der Funktion
F:R3→R2,
x y z
7→
x2+y2 y2+z2
.
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Zusatzaufgabe 5 Seiφ∈R, k∈Zund Cφ=C\ {reiφ:r≥0}. Zeigen Sie:
(a) Es gibt genau eine Abbildung
ln : Cφ→(0,∞)×(φ+ 2kπ, φ+ 2(k+ 1)π)
mit elnz =z f¨ur alle z∈Cφgibt. (Diese Abbildung nennt man im Fallφ=k= 0 den Hauptzweig des Logarithmus, andernfalls einenNebenzweig des Logarithmus.) (b) Die Abbildung ln ist differenzierbar und f¨ur allez=x+iy∈Cφ gilt
ln0(z) = 1 x2+y2
x y
−y x
(c) Die Abbildung ln besitzt keine stetige Fortsetzung zu einer AbbildungL:C→C, d.h. es gibt keine stetige Abbildung L:C→CmitL|Cφ= ln.
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