Ebert PD Dr

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Prof. Dr. J. Ebert PD Dr. T. Timmermann

Ubung zur Analysis 2¨ Blatt 2

Zusatzaufgabe 5: Die `^p-Norm auf Rⁿ ist gegeben durch kxk_p := (Pn

i=1|x_i|^p)¹^p. In dieser Aufgabe ist zu zeigen, dass dies wirklich eine Norm ist.

(a) Zeigen Sie: f¨ur alle x ∈ Rⁿ und c ∈R gilt kcxk_p =|c|kxk_p. Außerdem. ist kxk_p = 0, so ist x= 0.

(b) Es seienp, q ∈(1,∞) mit ¹_p+¹_q = 1. Man zeige dieH¨oldersche Ungleichung:

sind x, y ∈Rⁿ, so gilt

n

X

i=1

|x_iy_i| ≤ kxk_pkxk_q

(dies ist eine Verallgemeinerung der Cauchy-Schwarz-Ungleichung). Hin- weis: man schließe zunächst die trivialen Fälle x = 0 oder y = 0 aus, und zeige dann, dass es reicht, denn Fall kxk_p =kyk_q= 1 zu betrachten. Hierfür benutze man die Youngsche Ungleichung von Aufgabe 4, Blatt 1.

(c) Zeigen Sie die Dreiecksungleichung f¨ur die`^p-Norm (welche auch alsMinkowski- Ungleichung bekannt ist). Hinweis: Sei z ∈ Rⁿ der Vektor mit Komponen- ten z_j = |x_j + y_j|^p−1. Dann gilt kzk_q = kx + yk^p/qp . Dann zeige man kx+yk^p_p ≤ P

j|x_j||z_j|+P

j|x_j||z_j| und mit der H¨olderschen Ungleichung dann P

j|x_j||z_j|+P

j|x_j||z_j| ≤(kxk_p+kyk_p)kx+yk^p/qp .

L¨osung: Teil 1 ist trivial. F¨ur Teil 2: sei kxk_p =kyk_q = 1. Dann gilt wegen der Young-Ungleichung

n

X

i=1

|x_iy_i| ≤ 1 p

n

X

i=1

|x_i|^p +1 q

n

X

i=1

|y_i|^q = 1 p +1

q = 1.

F¨ur allgemeine x, y rechne, mit der eben erhaltenen Ungleichung,

n

X

i=1

|x_iy_i|=kxk_pkyk_q

n

X

i=1

|xi| kxk_p

|yi|

kyk_q ≤ kxk_pkyk_q. Teil 3: Es ist (p−1)q =p. Sei z wie im Hinweis. Dann gilt

kzk^q_q =

n

X

i=1

|x_j+y_j|^q(p−1) =

n

X

i=1

|x_j+y_j|^p =kx+yk^p_p.

Ferner ist

kx+yk^p_p =

n

X

i=1

|x_i+y_i|^p =

n

X

i=1

|x_i+y_i||x_i+y_i|^p−1 ≤

n

X

i=1

|x_i||z_i|+

n

X

i=1

|y_i||z_i|.

Aus der H¨older-Ungleichung folgt dann

n

X

i=1

|x_i||z_i| ≤ kxk_pkzk_q und

n

X

i=1

|y_i||z_i| ≤ kyk_pkzk_q

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Zusammengefasst ergibt sich

kx+yk^p_p ≤(kxk_p+kyk_p)kzk_q = (kxk_p+kyk_p)kx+yk^p/q_p und daher

kx+yk^p−p/q_p ≤ kxkp+kykp, und weil p−p/q = 1, ist der Beweis fertig.

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