13. Schwarz’sche Ungleichung und Norm

Institut f¨ur Theoretische Physik der Prof. Dr. Joachim Krug Universit¨at zu K¨oln, Sommersemester 2018 Benjamin Schmiegelt

Theoretische Physik II (Lehramt)

4. ¨ Ubung

http://www.thp.uni-koeln.de/~schmiegb/sose18/

Abgabe: Dienstag, 8. Mai 2018 bis 12:00 Uhr im Kasten vor der Theoretischen Physik

13. Schwarz’sche Ungleichung und Norm

10+10=20 Punkte In Kapitel 3.1. wurde die mathematische Formulierung des quantenmechanischen Zustandsraums (derHilbertraum) als komplexen Vektorraum mit Skalarprodukt (auchinneres Produkt genannt) eingef¨uhrt. F¨ur solche Skalarprodukte gilt allgemein die Schwarz’sche Ungleichung. In der Bra- Ket-Notation (Dirac-Notation) besagt diese, dass f¨ur beliebige Zust¨andehψ|und |φi gilt:

| hψ|φi |² ≤ hψ|ψi hφ|φi (1)

a) Zeigen Sie (1) unter Verwendung der Eigenschaften des Skalarprodukts, die in Punkt (ii)’ in Kapitel 3.1. eingef¨uhrt wurden.

Hinweis: Starten Sie mit dem Ausdruckhψ+aφ|ψ+aφi. Welche Ungleichung erf¨ullt dieser?

Setzen Sie sp¨ater ein geeignetes a ∈ C ein. Benutzen Sie nicht explizit die Darstellung als Ortswellenfunktion aus (3.3).

b) In Kapitel 3.1. wurde auch die vom Skalarprodukt induzierte Norm kψk ≡ p

hψ|ψi ein- gef¨uhrt. Zeigen Sie, dass diese tats¨achlich eine Norm ist (sich also so wie L¨angen im R³ verh¨alt), d.h. dass f¨ur alle Zust¨andeψ und φundα ∈Cgilt:

kaψk=|a|kψk (absolute Homogenit¨at)

kψ+φk ≤ kψk+kφk (Dreiecksungleichung)

kψk ≥0 (Nichtnegativit¨at)

kψk= 0⇒ψ= 0 (Definitheit)

Verwenden Sie wieder die in a) referenzierten Eigenschaften des Skalarprodukts, sowie die Schwarz’sche Ungleichung.

14. Zweizustandssystem

3+6+3+8=20 Punkte Wir betrachten hier ein quantenmechanisches System mit einem Hamilton-Operator ˆH. Dieser habe zwei Eigenzust¨ande |u₁i und |u₂i mit Eigenenergien E₁ und E₂. Zum Zeitpunkt t = 0 befinde sich das System im Superpositionszustand

|ψ(0)i= 1

√

2|u₁i+ 1

√ 2|u₂i

(Im Folgenden wird jeweils nur eine der Messungen durchgef¨uhrt, nicht mehrere nacheinander bzw. zu verschiedenen Zeiten.)

a) Ist der Anfangszustand normiert? Mit welcher Wahrscheinlichkeit w¨urden wir beit= 0 das System bei einer Messung im Zustand |u₁i bzw. |u₂i vorfinden? Welche Energien w¨urden wir mit welcher Wahrscheinlichkeit messen?

b) Zeigen Sie, dass sich das ungest¨orte System zu einem sp¨ateren Zeitpunkt t≥0 im Zustand

|ψ(t)i= 1

√2e^−~iE1t|u₁i+ 1

√2e^−~iE2t|u₂i

befindet, indem Sie verifizieren, dass dieser die zeitabh¨angige Schr¨odingergleichung in Ope- ratorform

i~∂

∂t|ψi= ˆH|ψi, erf¨ullt.

c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit w¨urden wir das System zum Zeitpunkt t ≥ 0 bei einer Messung im Zustand |u₁i bzw|u₂i vorfinden? Welche Energien w¨urden wir messen?

d) Zu einem Zeitpunkt t ≥ 0 wollen wir nun pr¨ufen, ob sich das System noch/wieder im gleichen Zustand wie bei t = 0 befindet. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird dies durch Messung bejaht? Dr¨ucken Sie diese Wahrscheinlichkeit als Funktion der Energiedifferenz

∆E =E2−E1 aus.

15. Lineare Operatoren

Pr¨asenzaufgabe Betrachten Sie die folgenden Abbildungen von Vektoren aus dem C² mit Basis {~ex, ~ey} (links), dem abstrakten Hilbertraum mit Basis{|u₁i,|u₂i}(Mitte) und dem Raum der Wellenfunktionen (rechts):

~

v 7→v_x~e_y+v_y~e_x |ψi 7→ hu₂|ψi |u₁i ψ(x)7→(ψ(x))²

~

v 7→~v+~ex |ψi 7→ihu₁|ψi |u₁i −ihu₂|ψi |u₂i ψ(x)7→ ∂ψ(x)

∂x

~

v 7→5~v |ψi 7→ hu₁|ψi ψ(x)7→ ∂²ψ(x)

∂x² a) Pr¨ufen Sie, welche der Abbildungen lineare Operatoren sind.

b) Welche der linearen Operatoren sind symmetrisch bzw. hermitesch?

c) Bestimmen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren der linearen Operatoren.