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Aufgabe 1: 3+3+3 Punkte

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Academic year: 2021

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Prof. Dr. Lars Diening Roland Tomasi

Giovanni Placini 13.10.2014

Maß- und Integralrechnung Übungsblatt 1

Aufgabe 1: 3+3+3 Punkte

Sei R ⊂ P (X ) ein Mengensystem und A := R ∪ {A

{

: A ∈ R}. Zeigen Sie:

(a) Ist R ein Ring, so ist A die von R erzeugte Algebra, d.h. A ist die kleinste Algebra, welche R enthält.

(b) Ist R ein σ-Ring, so ist A die von R erzeugte σ-Algebra σ(R), d.h. A ist die kleinste σ-Algebra, welche R enthält.

(c) Sei X := R und E := {{x} : x ∈ R } (die Menge der Singletons). Bestimmen Sie σ(E).

Hinweis: Im Tutorium wird gezeigt, dass gilt: Sei X eine Menge. Dann ist A ⊂ P(X ) genau dann eine Algebra ist, wenn gilt

(a) ∅ ∈ A.

(b) Aus A ∈ A folgt A

{

∈ A.

(c) Aus A, B ∈ A folgt A ∪ B ∈ A.

Sie dürfen dies zur Lösung der Aufgabe verwenden.

Aufgabe 2: 5 Punkte

Sei H ein Halbring über X. Zeigen Sie, dass

R :=

n

[

k=1

A

k

: n ∈ N , A

1

, . . . , A

n

∈ H paarweise disjunkt

gleich dem von H erzeugtem Ring ist.

Aufgabe 3: 3+3 Punkte

Sei X eine Menge und seien (A

n

)

n∈N

eine Folge von Teilmengen von X und A ⊂ X eine Menge mit A

n

→ A. Zeigen Sie, dass für x ∈ X gilt:

(a) x ∈ A genau dann, wenn ∃N ∈ N ∀n ≥ N : x ∈ A

n

. (b) x / ∈ A genau dann, wenn ∃N ∈ N ∀n ≥ N : x / ∈ A

n

.

Abgabe bis Montag, den 19.10.2014 um 10:15 Uhr

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