Aufgabe 3 – Finanzmathematik (23 Punkte) Aufgabe
Für den Bau einer neuen Produktionsanlage hat die „1SUS GmbH“ einen Investitionsbedarf von
4.000.000 € ermittelt, wobei 2.500.000 € davon mit einem Zinssatz von 2,5 % fremdfinanziert werden müssen.
3.1 Berechne die jährliche Annuität, wenn der Kredit in 10 Jahren getilgt werden soll. (4 Punkte) Der Geschäftsführer, Herr Baco, möchte die Annuität auf 200.000 € beschränken.
3.2 Bestimme die Länge der Tilgungsdauer. (5 Punkte)
3.3 Ermittle die Höhe der Restschuld nach 12 Jahren, wenn nach 10 Jahren der Zinssatz auf 4%
steigt. (7 Punkte)
3.4 Der Eigenanteil von 1.500.000 €, der für die geplante Investition eingebracht werden soll, ist folgendermaßen zustande gekommen:
3.4.1 Herr Baco hat vor 8 Jahren 300.000 € geerbt. Diesen Betrag legte er zu 3,5 % p.a. in einem festverzinslichen Wertpapier an, sodass inzwischen eine deutlich höhere Summe angewachsen ist. Bestimme den aktuellen Guthabenstand. (2 Punkte)
3.4.2 Außerdem zahlte Herr Baco in den vergangenen 25 Jahren jeweils vorschüssig in eine kapitalbildende Lebensversicherung ein. Auch hier erhielt er einen Zinssatz von 3,5 %.
Berechne die Höhe der Jahresrate. Solltest du im ersten Teil kein Ergebnis ermitteln können, dann rechne mit einem Rentenendwert von 1.100.000 €. (5 Punkte)
Aufgabe 3 – Finanzmathematik (23 Punkte) Lösung
Für den Bau einer neuen Produktionsanlage hat die „1SUS GmbH“ einen Investitionsbedarf von 4.000.000 € ermittelt, wobei Ko 2.500.000 € (Zeitpunkt jetzt, d.h. 0) davon mit einem Zinssatz von p 2,5 % (q=1,025= 1+p) fremdfinanziert werden müssen.
3.1 Berechne die jährliche Annuität, wenn der Kredit in n 10 Jahren getilgt werden soll. (4 Punkte) 2,5%=0,025 = 2,5/100
RS Restschuld
RSn = Ko* qn – A *(qn -1)/(q-1)
Kn= Ko* qn (-> Kapital, das ich nach n Jahren habe bzw. entspricht der Höhe der Schulden, wenn ich nichts zurückbezahle)
A *(qn -1)/(q-1)-> Schuld wird durch regelmäßige Zahlung vermindert 0 = 2.500.000 *1,02510 – A (1,02510 –1)/0,025
0 = 3.200.211,36 – A *11,2 I + A *11,2 I :11,2 A = 285.733,16
Stelle einen Tilgungsplan für die ersten 5 Jahre auf…(Gegeben ist p, K und n ) 1. Rechenschritt: bestimmen der Annuität: 285.733,16
Jahr Restschuld K Zinsen Tilgung Neue Restschuld
RS neu Annuität
konstant
1 2500000 62500 223.233,16 2.276.766,84 285.733,16
2 2.276.766,84 …. 285.733,16
3 285.733,16
4 285.733,16
5 1.326.613, 18 285.733,16
Zinsen: Z= p*K = 2500000* 0,025 = 62500
Tilgung: T = A – Z =285.733,16 - 62500= 223.233,16
RS neu (am Ende des Jahres) = K – T = 2500000 - 223.233,16 = (…)
Berechne die Restschuld nach 8 Jahren, wenn nach dem 5. Jahr eine Sondertilgung in Höhe von 250.000 Euro (ST) geleistet worden wäre.
1. Restschuld nach 5 Jahren berechnen:
RS5 = 2.500.000*1,0255 - 285.733,16 * (1,0255 –1)/0,025 = 1.326.613, 18 2. Sondertilgung: RS5 – ST = 1.326.613, 18 -250.000 = 1076613,18
3. RS8 = 1076613,18*1,0253- 285.733,16 * (1,0253 –1)/0,025 = 280.586,59
Berechne die Tilgungsdauer, wenn die Sondertilgung getätigt worden wäre, wie hoch ist die Abschlusszahlung?
A: 285.733,16 / RS: 280.586,59
Hier: Abschlusszahlgung am Ende des 8. Jahres in Höhe von 280.586,59. ( da A > RS)
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Neue Aufgabe
Berechne die Tilgungsdauer und wie hoch ist die Abschlusszahlung?
Annahme: nur vollständige Annuitätenzahlung, wenn A > als Restschuld, dann Abschlußzahlung RS: 500.000. / p=5% A= 60.000
n= ? (Laufzeit)
Formel: RSn = Ko* qn – A *(qn -1)/(q-1)
500000*1,05n – 60.000 * (1,05n –1)/0,05 = 0 I*0,05 -> (0,05 * 60.000 * (1,05n –1))/0,05 25.000*1, 05n – 60.000 * (1,05n –1) = 0. - a*(b +c) = -a*b- a*c
25.000*1, 05n – 60.000 * 1,05n + 60000 = 0 I – 60.000 und ausklammern von 1, 05n 1, 05n (25.000-60.000) = -60.000
-35.000*1, 05n = -60.000. I :-35.000 1, 05n = 1,71 I ln
n* ln(1,05) = ln(1,71)
n= ln(1,71)/ln(1,05) = 10,99
Annahme Ergebnis wäre 10,5 d.h. Zahl kleiner als 11:
d.h. 10 Jahre wird die Annuität bezahlt und dann wird eine Abschlusszahlung geleistet.
Restschulden nach 10 Jahren: RS10= 500000*1,0510 – 60.000 * (1,0510 –1)/0,05 = 59.773,76 Abschlusszahlung nach dem 10 Jahr: 59.773,76
Rechenweg im Allg.:
1. Berechnung der Laufzeit n 2. Runde die Zahl n ab.
3. Berechne die Restschuld nach diesem Jahr - > das ist dann die Abschlusszahlung
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Wie hoch müsste die Kreditsumme sein, wenn der Auszahlungsbetrag 90% (10% Disagio)beträgt?
2.500.000 € benötige Kapitalbetrag (90%)
Kreditsumme? (100%) (nomineller Darlehnsbetrag / ) 2.500.000:0,9 = (2.500.000:90)*100 = 2.777.777,78 K
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Der Geschäftsführer, Herr Baco, möchte die Annuität auf 200.000 € beschränken.
3.2 Bestimme die Länge der Tilgungsdauer n . RSn = Ko* qn – A *(qn -1)/(q-1)
0 = 2.500000*1,025n – 200000*(1,025n -1)/0,025. I*0,025
0 = 62500 *1,025n – 200.000*1,025n + 200.000 a*(c -d) = ac-ad 0 = 1,025n (62500 – 200000) +200000 I -200000
-200.000 = - 137.500 * 1,025n I : -137.500 1,455 = 1,025n I ln ln(ab) = b* ln(a) ln(1,455) = n * ln(1,025)
n = ln(1,455) / ln(1,025) = 15,19
A: Tilgungsdauer 16 Jahre oder 15 und Schlusszahlung
3.3 Ermittle die Höhe der Restschuld nach 12 Jahren, wenn nach 10 Jahren der Zinssatz auf 4% steigt.
RSn = Ko* qn – A *(qn -1)/(q-1)
10 Jahre 2,5% und weitere 2 Jahre 4%)
RS10 = 2500000*1,02510 – 200000(1,02510 – 1) / 0,025 = 959.535 RS12 = 959.535 *1,042 – 200000(1,042 – 1) / 0,04 = 629.833
3.4 Der Eigenanteil von 1.500.000 €, der für die geplante Investition eingebracht werden soll, ist folgendermaßen zustande gekommen:
3.4.1 Herr Baco hat vor 8 Jahren 300.000 € geerbt. Diesen Betrag legte er zu 3,5 % p.a. in einem festverzinslichen Wertpapier an, sodass inzwischen eine deutlich höhere Summe angewachsen ist. Bestimme den aktuellen Guthabenstand. (2 Punkte)
Kn = Ko*qn = 300000*1,0358 = 395.042,71 ca. 400.000
3.4.2 Außerdem zahlte Herr Baco in den vergangenen 25 Jahren jeweils vorschüssig in eine kapitalbildende Lebensversicherung ein. Auch hier erhielt er einen Zinssatz von 3,5 %.
Berechne die Höhe der Jahresrate. Solltest du im ersten Teil kein Ergebnis ermitteln können, dann rechne mit einem Rentenendwert von 1.100.000 €. (5 Punkte)
Rest, der durch die Lebensversicherung zu finanzieren ist: 1.500.000- 395.042,71 = ca. 1.100.000 Lebensversicherung: regelmäßige Zahlung am Jahresanfang
Rn = r * q * (qn -1) / p ó 1100.000 = r * 1,035 *(1,03525- 1) /0,035 q *-> Vorschüssig
1,035 *(1,03525- 1) /0,035= 40,31. -> 1.100.000/40,31 = 27.288,51 Euro r = 27.288,51
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Finanzmathe-Fortsetzung Aufgabe:
Wie lange hätte er in eine Lebensversicherung einzahlen müssen, wenn er lediglich vorschüssig 20.000 einbezahlt hätte und ebenfalls 1.100.000 Euro am Ende der Laufzeit erhalten möchte. Zinssatz 4%
Rn = r* q *(qn -1)/(q-1) vorschüssig 1.100.000 = 20.000*1,04* (1,04n -1)/0,04 1.100.000 = 520.000 *(1,04n -1)
1.100.000 = 520.000 *1,04n -520.000 I + 520.000 1.620.000 = 520.000 *1,04n I :520000
3,12 =1,04n I ln ln(3,12) = n*ln(1,04) n= 29
Er hätte 29 Jahre einbezahlen müssen
Regel: wenn die gesuchte Größe ein Exponent (Hochzahl) ist, muss ich den ln bzw. log verwenden!!!!!!
Annahme: n=29,8 è 30 Jahre
