Prof. Dr. Lars Diening Roland Tomasi
Giovanni Placini 08.12.2014
Maß- und Integralrechnung Übungsblatt 9
Aufgabe 1: 3+3 Punkte
Seien f ∈ L
p( R
n), 1 ≤ p < ∞, g ∈ L
1( R
n) und ϕ ∈ M
+( R
n) mit R
Rn
ϕ(x) dx = 1.
Zeigen Sie:
(a) Es gilt |f ∗ ϕ|
p≤ |f |
p∗ ϕ fast überall (Tipp: Jensen’sche Ungleichung).
(b) Es gilt kf ∗ gk
p≤ kf k
pkgk
1.
Aufgabe 2: 4+2+3 Punkte
(a) Seien f ∈ L
p, g ∈ L
qwobei
1q+
1p=
1rmit p, q, r ∈ [1, ∞]. Zeigen Sie:
kf gk
r≤ kf k
pkgk
q.
(b) Sei (g
j)
j∈{1,...,N}eine Familie von Funktionen mit g
j∈ L
pjund P
N j=11 pj
=
1rmit r, p
j∈ [1, ∞]. Zeigen Sie:
Q
N j=1g
jr
≤ Q
Nj=1
kg
jk
pj
. (c) Sei p
0, p
1∈ [1, ∞]. Für θ ∈]0, 1[ sei p
θ∈ [1, ∞] definiert durch
p1θ
=
1−θp0
+
pθ1
. Sei f ∈ L
p0∩ L
p1. Zeigen Sie, dass f ∈ L
pθund
kf k
pθ
≤ kf k
1−θp0
kfk
θp1
.
Aufgabe 3: 5 Punkte
Sei X ⊂ R
nmessbar mit 0 < µ(X) < ∞. Ferner sei f ∈ L
∞(X). Zeigen Sie:
p 7→
1 µ(X)
Z
X
|f|
pdµ
1pist monoton wachsend in p ∈ [1, ∞] mit Grenzwert kf k
∞für p → ∞.
Folgern Sie lim
p→∞
