Aufgabe 1: (2+1+3) Punkte

(1)

Prof. Dr. Lars Diening Robert Graf

Maximilian Wank 13.05.2014

Topologie und Differentialrechnung mehrerer Variablen Übungsblatt 5

Aufgabe 1: (2+1+3) Punkte

Die Funktionen f : R

²

→ R

³

und g : R

²

→ R seien durch

f (x) :=



 x

²₁

+ x

²₂

x

₁

x

₂





und

g(x) :=

(

_x³

1x₂−x1x³₂

x²₁+x²₂

, x 6= 0,

0, x = 0,

definiert.

(a) Sei x ∈ R

²

. Zeigen Sie direkt mit der Definition der totalen Ableitung, dass Df(x) existiert und geben Sie Df (x) explizit an.

(b) Zeigen Sie direkt mit der Definition der totalen Ableitung, dass Dg(0) existiert und geben Sie Dg(0) explizit an.

(c) Berechnen Sie ∂

1

∂

2

g(0) und ∂

2

∂

1

g(0).

Aufgabe 2: (1+1+2+2) Punkte

Die Funktion f : R

²

→ R sei durch

f (x) :=

(

_x³

1

x²₁+x²₂

, x 6= 0,

0, x = 0,

definiert. Zeigen Sie folgende Eigenschaften:

(a) f ist am Punkt 0 stetig.

(b) Für alle u ∈ R

²

\ {0} existiert die Richtungsableitung D

_u

f(0) am Punkt 0.

(c) f ist am Punkt 0 nicht total differenzierbar.

(d) f ist auf R

²

\ {0} stetig partiell differenzierbar.

Aufgabe 3: 4 Punkte

Es seien k · k

a

und k · k

b

zwei Normen auf R

ⁿ

. Beweisen Sie, dass es Konstanten c

₁

, c

₂

> 0 gibt, sodass

c

1

kxk

a

≤ kxk

b

≤ c

2

kxk

a

für alle x ∈ R

ⁿ

gilt.

(2)

Aufgabe 4: (2+2) Punkte Wir definieren die Folgenräume

`

¹

( N ) := {(a

_i

)

_i

Folge :

∞

X

i=1

|a

_i

| < ∞} und `

²

( N ) := {(a

_i

)

_i

Folge :

∞

X

i=1

|a

_i

|

²

< ∞}.

Dabei macht k(a

i

)

i

k

_`1(N)

:=

∞

P

i=1

|a

i

| den Vektorraum `

¹

( N ) zu einem Banachraum,

ebenso wie k(a

_i

)

_i

k

_`2(N)

:=

^∞

P

i=1

|a

_i

|

²

1

2

den Vektorraum `

²

( N ) zu einem Banach- raum macht. Nun definieren wir Abbildungen

f : `

²

( N ) → `

¹

( N ) (a

i

)

i

7→ (

¹₂

a

²_i

)

i

und für eine feste Folge b := (b

i

)

i

∈ `

²

( N )

A

b

: `

²

( N ) → `

¹

( N ) (a

i

)

i

7→ (b

i

a

i

)

i

.

Zeigen Sie nun:

(a) Für eine feste Folge b := (b

i

)

i

∈ `

²

( N ) ist A

b

: `

²

( N ) → `

¹

( N ) linear und beschränkt.

(b) Konvergiert a := (a

i

)

i

∈ `

²

( N ) gegen die Folge b := (b

i

)

i

∈ `

²

( N ) bezüglich der `

²

( N )-Norm (also ka − bk

`²(N)

→ 0), dann konvergiert

f (a) − f (b) − A

b

(a − b) ka − bk

_`2(N)

→ 0

bezüglich der Norm k · k

_`1(N)

.

Bemerkung: Damit haben Sie gezeigt, dass A

b

das totale Differential von f in b ist.

Abgabe bis Dienstag, den 20.05.2014 um 12:15 Uhr