Aufgabe 1: (2+2) Punkte

Prof. Dr. Lars Diening Sebastian Schwarzacher

Maximilian Wank 12.11.2013

Analysis einer Veränderlichen — Übungsblatt 4

Aufgabe 1: (2+2) Punkte

Wir definieren die Fakultät einer natürlichen Zahl als n! :=

n

Q

k=1

k und 0! := 1.

Untersuchen Sie die Folgen a n := ₂ ^n!

und b n := _n ^n!

auf Konvergenz in R .

Aufgabe 2: (2+2) Punkte

(a) Es sei

∞

P

k=0

b _k eine in R konvergente Reihe mit b _k ≥ 0 für alle k ∈ N 0 und (a _k ) _{k∈ N}

eine Folge mit |a _k | ≤ b _k für alle k ∈ N 0 . Beweisen Sie, dass

∞

P

k=0

a _k

absolut konvergiert.

(b) Seien (a _k ) _{k∈ N}

und (b _k ) _{k∈ N}

Folgen mit a _k ≥ b _k ≥ 0 und

∞

P

k=0

b _k = ∞. Beweisen Sie, dass

∞

P

k=0

a _k = ∞.

Aufgabe 3: 2 Punkte

Zeigen Sie, dass die Reihe

∞

P

k=1 sin(k)

k

in R konvergiert.

Hinweis: Sie dürfen Aufgabe 2 ohne Beweis verwenden.

Aufgabe 4: 3 Punkte

Es seien (x n ) n∈ N , (y n ) n∈ N und (z n ) n∈ N Folgen in R . Desweiteren existiere ein N ∈ N , so dass x _n ≤ y _n ≤ z _n für alle n ≥ N . Zeigen Sie, dass aus x _n −−−−→ ^n→∞ x und z _n −−−−→ ^n→∞ x auch y _n −−−−→ ^n→∞ x folgt.

Aufgabe 5: 4 Punkte

Sei (a k ) _k∈N

eine monoton fallende Folge mit a k ≥ 0 für alle k ∈ N 0 . Dann konver- giert

∞

P

k=0

a _k in R genau dann, wenn

∞

P

k=0

2 ^k a ₂

in R konvergiert.

Aufgabe 6: 3 Punkte

Es sei s ∈ [0, ∞). Zeigen Sie, dass die Reihe

∞

P

k=1

k ^−s genau dann in R konvergiert, wenn s > 1 gilt.

Hinweis: Sie dürfen die Aufgaben 5 und 2 ohne Beweis verwenden.

Abgabe bis Dienstag, den 19.11.2013 um 16:00 Uhr