Aufgabe 1: 2+2+3=7 Punkte

Prof. Dr. L. Diening, S. Schwarzacher, F. Gmeineder, H. Irl 30.05.2012

Fortgeschrittene numerische Mathematik — Blatt 7

Abgabe: Mittwoch, den 3. Juni vor der Vorlesung

Aufgabe 1: 2+2+3=7 Punkte

Sei Ω ⊂ R

eine offene, beschr¨ ankte Menge. Wir definieren die γ-te H¨ older Seminorm einer Funktion f : Ω → R via

[f ]

(

) ≡ sup

x,y∈Ω&x6=y

|f (x) − f (y) |

|x − y|

Der k, γ-te H¨ older Raum C

Ω

besteht aus allen Funktionen f ∈ C

Ω sodass

||f||

(

) ≡ X

|α|≤k

||D

f||

(

) + X

|α|=k

[D

f ]

(

) < ∞ Hierbei sei γ ≥ 0. Zeigen Sie das Folgende:

(a) ||·||

definiert eine Norm auf C

Ω

. Diskutieren Sie, ob in der obigen Definition der H¨ oldernorm C Ω

durch C (Ω) ersetzt werden kann.

(ii) C

Ω

ist ein Banachraum in Bezug auf die gegebene Norm.

(iii) Nun sei 0 < β < γ ≤ 1. Dann gilt

||f ||

(

) ≤ ||f ||

1−γ 1−β

C^0,β

(

) · ||f ||

γ−β 1−β

C^0,1

(

) Diskutieren Sie, ob diese Ungleichung scharf ist.

Auf den n¨ achsten ¨ Ubungsbl¨ attern werden wir diese Aufgabe fortf¨ uhren.

Aufgabe 2: 4 Punkte

Es sei B

e

(0) ⊂ R

der offene Ball um 0 mit Radius

in R

. Zeigen Sie log | log |x|| ∈ W

B

(0)

.

Aufgabe 3: 3+3+3=9 Punkte

Sei n ≥ 3. Wir betrachten die Funktion Ψ : R

→ R , definiert durch

Ψ (x) = 1

n (n − 2) α (n) |x|

Hierbei notieren wir mit | · | die euklidische Norm. Zeigen Sie das Folgende:

(a) Zeigen Sie, f¨ ur x 6= 0, dass X

k

∂

Ψ(x) := ∆Ψ(x) = 0.

(b) Sei f ∈ C

( R

). Dann ist

ϕ (x) = f

Ψ(x) = Z

Rⁿ

Ψ (x − y) f (y) dx

eine C

( R

)-Funktion, die −∆ϕ = f auf ganz R

erf¨ ullt. Hinweis: Ver-

wenden Sie den Satz von Gauß auf dem Gebiet R

\ B

(x) und lassen Sie

dann ε → 0 gehen.

(c) Sei Ω ⊂ R

offen. Eine C

-Funktion ϕ : Ω → R heisst harmonisch, falls

∆ϕ = 0 auf Ω. Zeigen Sie: Ist ϕ ∈ C

(Ω) harmonisch auf Ω so gilt f¨ ur jeden offenen Ball B

(x) ⊂ Ω

ϕ (x) = vol (B

(x))

Z

Br(x)

ϕ dx.