1. Aufgabe 3 Punkte

Technische Universit¨ at Berlin

Fakult¨ at II – Institut f¨ ur Mathematik SS 04 B¨ arwolff, Fuhrmann, Mehl, Penn-Karras, Scherfner 21. Juli 2004

Juli – Klausur (Verst¨ andnisteil) Analysis II f¨ ur Ingenieure

L¨ osungsblatt

1. Aufgabe 3 Punkte

Z

γ

grad f · ds ~ = f (0 , 0 , 1) − f (1 , 0 , 0) = 1 − 2 = − 1 .

2. Aufgabe 5 Punkte

Man findet div V ~ = 1.

Z Z

S

V ~ · dO ~ = Z Z Z

B

1dxdydz = 2 3 π.

3. Aufgabe ^{8 Punkte}

B = { ( x, y ) ∈ R

| y ∈ [0 , 4] , √ y ≤ x ≤ 2 } = { ( x, y ) ∈ R

| x ∈ [0 , 2] , 0 ≤ y ≤ x

}

Deshalb Z Z

B

1

1 + x

dxdy = Z

0

Z

0

1

1 + x

dydx

= Z

0

x

1

1 + x

dx = 1

3 ln(1 + x

) |

= 2 3 ln 3

4. Aufgabe 7 Punkte

F¨ ur (x, y) 6 = ~ 0

f ( x, y ) = x

p

| y | x

+ y

3

≤ x

p

| y | x

= p

| y | −→

0 f¨ ur ( x, y ) −→ (0 , 0)

h

lim

f(0, 0 + h) − f (0, 0)

h = lim

h→0

0 − 0 h = 0.

d.h. die Ableitung

existiert.

5. Aufgabe 5 Punkte Die NB ist kompakt, also nimmt f dort globales Max. und Min an.

Vergleich der Werte liefert: P

ist Maximal- und P

ist Minimalstelle.

P

ist kein lok. Maximum, denn w¨are P

lok. Max., so m¨ usste auf demjenigen Kreisabschnitt zwischen P

und P

, auf welchem P

nicht liegt, noch ein weiteres lok. Min. liegen (*).

Analoger Schluss : P

ist auch kein lok. Min; folgl. ist P

ein Sattelpunkt.

(*): Zwischen zwei lok. Max. auf einem Intervall liegt mind. ein lok. Min.

6. Aufgabe 12 Punkte

a) falsch, Gegenbsp. f ( ~ x ) = x

b) falsch, Gegenbsp. a

= ( − 1)

c) richtig, denn dann ist f diffb. und damit auch stetig

d) richtig, denn Kompakheit impliziert Abgeschlossenheit. W¨are eine komp.

Menge auch offen, so w¨are sie also gleichzeitig offen und abgeschlossen, was nur f¨ ur die leere Menge oder den ganzen R

gilt. Die leere Menge ist nach Vorausssetzung ausgeschlossen und R

nicht kompakt. Widerspruch! D.h.

die Behauptung ist richtig.

d) richtig, Integrationsgebiet ist ein Rechteck, Integrationsgrenzen h¨angen we-

der von x noch von y ab.