Aufgabe 1 Gegeben sei die folgende Menge (3)

Philipps-Universit¨ at Marburg Wintersemester 2015/16 Fachbereich Mathematik und Informatik

Prof. Dr. B. Schmitt, B. K¨ uster

Ubungen zur ¨ Linearen Optimierung 7. Aufgabenblatt

Aufgabe 1 Gegeben sei die folgende Menge (3)

M := {x ∈ R

: x

= s, x

= t p

1 + s

, x

= −t p

1 + s

, t ∈ [−1, 1], s ∈ R }.

Bestimmen Sie die affine H¨ ulle in der Form aff(M) = H(a, α) und den Linealraum L(M).

Aufgabe 2 (3)

a) Es seien y, x

∈ R

, j = 1, . . . , k, und x = P

j=1

λ

x

, (λ

) ∈ ∆

, eine konvexe Kombi- nation. Zeigen Sie f¨ ur eine beliebige Norm k · k auf R

:

kx − yk ≤ max{kx

− yk : j = 1, . . . , k}.

b) Sei k · k eine Norm auf R

. Zu einer nichtleeren, beschr¨ ankten Menge M ⊆ R

wird der Durchmesser bez¨ uglich k · k definiert als

diam(M ) := sup{kx − yk : x, y ∈ M}.

Zeigen Sie, dass gilt: diam(konv(M)) = diam(M).

Aufgabe 3 Gegeben seien die abgeschlossenen Mengen im R

: (3) M := {(0, x

, 1)

: x

∈ R }, N := {x = (x

, x

, x

)

: x ≥ 0, x

x

≥ x

}.

a) Zeigen Sie, dass M ∩ N = ∅.

b) Zeigen Sie, dass es genau eine Hyperebene H gibt, die M und N trennt. Zeigen Sie, dass H die Mengen M und N jedoch nicht echt trennt.

Aufgabe 4 Beweisen oder widerlegen Sie folgende Aussage: (2) F¨ ur jedes n ∈ N gilt: Ist P : R

→ R

eine stetige Projektion, d.h. eine stetige Abbildung mit der Eigenschaft P ◦ P = P , so ist das Bild von P konvex.

Abgabe: Donnerstag, 03.12.15, vor der Vorlesung.

1