Philipps-Universit¨ at Marburg Wintersemester 2015/16 Fachbereich Mathematik und Informatik

Philipps-Universit¨ at Marburg Wintersemester 2015/16 Fachbereich Mathematik und Informatik

Prof. Dr. B. Schmitt, B. K¨ uster

Ubungen zur ¨ Linearen Optimierung 6. Aufgabenblatt

Aufgabe 1 (4)

L¨ osen Sie das Lineare Programm

min x

− 2x

x

+ 2x

≥ 1

−2x

+ 3x

≥ −5

−x

− x

≥ −3 x

, x

≥ 0

mit dem Simplex-Tableau-Verfahren. F¨ uhren Sie dabei eine Anlaufrechnung nach der Groß-M- Methode durch.

Aufgabe 2 Beweisen oder widerlegen Sie, dass die folgenden Mengen konvex sind: (4)

• M

:= {x ∈ R

: a

x

+ . . . + a

x

> a

} f¨ ur gegebene a

, a

, . . . , a

∈ R ;

• M

:= {x ∈ R

: kxk

:= p

x

+ . . . + x

= 1};

• M

:= {x ∈ R

: (a

x

+ . . . + a

x

)

+ . . . + (a

x

+ . . . + a

x

)

≤ 1}

f¨ ur gegebene a

∈ R, i, j = 1, . . . , n;

• M

:= αA + βB, wobei A, B ⊂ R

konvexe Mengen sind und α, β ∈ R.

Aufgabe 3 (3)

Gegeben sei die Menge M :=

n

x ∈ R

: x

≥ q

1 + x

+ . . . + x

o

⊂ R

.

(i) Zeigen Sie, dass M konvex ist.

(ii) Es sei nun z = (z

, . . . , z

) ∈ R

beliebig. Weisen Sie direkt nach, dass mit a

:=

− z

, . . . , −z

, q

1 + z

+ . . . + z

gilt: M ⊂ H

(a, 1).

Abgabe: Donnerstag, 26.11.15, vor der Vorlesung.

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