Fachbereich Mathematik und Informatik Sommersemester 2019 der Philipps-Universit¨ at Marburg

Fachbereich Mathematik und Informatik Sommersemester 2019 der Philipps-Universit¨ at Marburg

Prof. Dr. S. Dahlke, A. G¨ orlich

Ubungen zur Approximationstheorie ¨ – Blatt 9 –

Abgabe: Donnerstag, 11.07.2019, 12:00-12:15 in HS I

Aufgabe 9.1. (4 Punkte)

Es sei f ∈ L

( R

). Beweise folgende Eigenschaften der Fourier-Transformierten F f von f . (i) F (e

f (·))(ξ) = F f (ξ − h).

(ii) F (f (a·))(ξ) = a

F f

a

, a > 0.

(iii) F(λf + µg) = λF f + µF g.

(iv) F

(f

⊗ · · · ⊗ f

) = Q

j=1

F

f

.

Aufgabe 9.2. (4 Punkte)

Betrachte zu f, g ∈ L

( R

) den Faltungsoperator ∗ gem¨ aß (5.1.12), (f ∗ g)(x) =

Z

R^d

f (x − y)g(y) dy.

Zeige, dass es bez¨ uglich ∗ kein neutrales Element gibt, d.h., es existiert kein g ∈ L

( R

) mit g ∗ f = f f¨ ur alle f ∈ L

( R

).

Hinweis: Du darfst ohne Beweis benutzen, dass aus F f (ξ) = 0 f¨ ur alle ξ ∈ R

folgt, dass f (x) = 0 f¨ ur fast alle x ∈ R

.

Aufgabe 9.3. (4 Punkte)

Beweise Satz 5.1.6 der Vorlesung: Sei f ∈ L

(R

).

(i) Sei x

f ∈ L

( R

). Dann gilt:

∂

∂ξ

F f (ξ) = F (−ix

f(x))(ξ) (ii) Sei

k

∈ L

(R

). Dann gilt:

F ∂f

∂x

(ξ

) = iξ

F f(ξ)

Aufgabe 9.4. (m¨ undlich)

Betrachte f¨ ur d = 1 die Funktion f : R → R gem¨ aß f (x) :=

1 − |x| , −1 6 x 6 1

0 , sonst .

Zeige, dass f die Fourier-Transformierte einer Funktion g ∈ L

( R ) ist.